0; (t en segundos). c) Determina la composición de funciones f –1 g –1 . a) Si necesita llegar a una velocidad de por lo menos 1000 km/h que los estudiantes han adquirido en el año anterior. d) Determina gf ) . –1 para superar la estratósfera, determina el tiempo que demorará (  en superar esta capa de la atmósfera. b) Halla la aceleración al primer segundo. 4. Calcula el cociente incremental Q(h) según f(x) dado en cada inciso. a) f(x) = 3x 2 – 2x + 5 9. Indica cuáles son el vértice de la parábola y el eje de simetría propuestos en cada inciso. b) f(x) = 5x 2 – 2x + 1 a) y + 2 = 3x 2 + 6x + 3 b) y 2 – 10y + 25 = x + 4 Apertura de unidad c) f(x) = 11x 2 – 3 4 y 8 y 5. Determina la derivada de f(x) para el punto a solicitada en cada inciso. 3 7 (0, 7) 6 2 (–4, 5) 5 Contiene: título de unidad, fotografía motivadora a) f(x) = 5x 4 + 11; a = 1 (-2, 0) 1 0 (0, 1) x 4 3 2 (0, 3) b) f(x) = 3x 3 + 11x + 10; a = 3 –2 –1 –1 1 1 x relacionada con los temas que se tratarán, texto in- c) () =fx 4 2 1;... = a –2 (–1, –2) –2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 3 ++x 4 + 1 x 1 x 8 8 9 9 troductorio, preguntas de comprensión y de lectura de imagen, códigos de objetivos de unidad. Matrices reales M [R]. Operaciones 1 Contenidos científicos mxn Shutterstock, 408558961 unidad y pedagógicos Aplicaciones de matrices en la vida diaria uestra vida diaria está inundada de ma- trices. Estas actúan como contenedo- Álgebra y funciones N res que nos permiten almacenar datos Bloques curriculares relacionados entre sí. Por ejemplo, una tabla nutricional nos da la información de energía • Saberes previos. Pregunta que relaciona el nuevo y proteínas que una porción de alimento for- UNIDAD 1 tificante le aporta a nuestro organismo. En medicina, mediante una matriz, se puede ver la utilización de un medicamento y analizar conocimiento con las experiencias previas del estu- así su comercialización, prescripción y uso Álgebra y funciones en una población determinada. En los Juegos Olímpicos, para determinar el medallero, se utiliza una matriz en la que constan, en co- lumnas, los países participantes y las medallas Matrices, Sistemas de diante: su experiencia, su entorno. de oro, plata y bronce que cada uno obtuvo. operaciones ecuaciones lineales Estas son algunas de las aplicaciones de las matrices en el contexto en que nos desenvol- vemos. Determinantes Adaptado de: https://es.scribd.com/doc/119256851/ • Desequilibrio cognitivo. Cuestiona los conoci- Aplicacion-de-Las-Matrices-en-La-Vida-Diaria Objetivos mientos que posee el estudiante y lo desestabiliza O.G.M.1. O.G.M.2. O.G.M.5. Observa y contesta para que reconstruya la información que posee. • ¿Qué información matemática colo- carías en una tabla para describir cada una de las imágenes de esta página? • ¿Crees que el registro de notas de tu profesor es un ejemplo de matriz? Los contenidos se apoyan en fotos, organizadores grá- • ¿Dónde encuentras otros ejemplos de ¿Por qué? matrices? Enúncialos. ficos, diagramas, esquemas e ilustraciones. Shutterstock, 376923973 10 11 Secciones variables rectas pueden pasar? Ecuación vectorial y paramétrica Las ecuaciones paramétricas de la recta R están definidas como: Interdisciplinariedad Saberes previos x =2t, ¿Por dos puntos, cuántas de una recta en el espacio Matemática y Física t . y =t, y paramétricas de una recta   z =3t, Las ecuaciones vectoriales 1 a aa Definición. Sean  =a ( ,, 3 2 ) , b ( = b bb  =a ) ∈ ( ,, 3 2 b no ( = b bb , , 3 2 ) ∈ R 3 Si cambiamos el parámetro t por otro de la forma t =2s 5, s , constituyen las ecuaciones más 1 a R 3 con ) ,aa 1 , , 3 2 1 • Recuerda que… Se hace mención a temas propios Desequilibrio cognitivo nulo. El conjunto R definido como ^ ( ,, 3( 1 a aa  =a x  2 ( = b bb ( =, a aa ) ∈, 1 b bbb se  1 b bb 2 ) ∈ R 3 las ecuaciones paramétricas de la recta R se escriben como: simples que surgen en aplicacio- , represen-  | = ` =atbt  R  nes de ingenierías, economía y x =2(2s 5), R 3 ) ∈, 3 ( =, 1 a aa=a ta una recta que pasa por  =a y es paralela al vector ) b. El vector ) R 3 , , 3 1 , , 3 1 2 ) , b,, 3 ( ,, 3 2 2 2 colineales? ¿Qué son puntos llama vector director de la recta R. y =2s 5, s . ciencias (como la física, la quí- mica o la biología). En física, por de la matemática; hace referencia a conocimientos Recuerda la definición La ecuación =xa tb , t  se llama ecuación vectorial de la Desde el punto de vista conjuntista, ejemplo, estas ecuaciones descri- z =3(2s 5), ben el movimiento de cuerpos recta R en la que el número real t se llama parámetro. en trayectorias rectilíneas.  x yz Nota que R  R 3 y los elementos de R son puntos =( ,, )x 3 tb { { }= (2(2s 5), 2s 5, 3(2s 5))|s R= (2t, t, 3t)|t anteriores o prerrequisitos que el estudiante nece- x =u+tv , La ecuación t se conoce que se expresan en la forma =xa , para algún t  R. 2. Sean u=( 1, 1, 2), a=(1, 2, 5). Encuentra la recta R que pasa }. Tenemos la siguiente equivalencia: x R t , tal que x =a+tb, por los puntos u=( 1, 1, 2), a=(1, 2, 5).u=( 1, 1, 2), =(1, 2, 5).rminar este conjunto R, tenemos como ecuación vectorial de la x = a+tc, y a. Para dete { se llama y su negación x R } . y =b+td.  R, y debemos encontr sita para el tema que se está desarrollando. recta R. El vector v =(2, 1, 3) y R= x =t(2, 1, 3)|t t , tal que x a+tb. presente que u=( 1, 1, 2), a=(1, 2, 5).ar un vector director b=a u=(1, 2, 5) ( 1, 1, 2)=(2, 1, 3), vector director de la recta R. de la recta R. Entonces, { Las ecuaciones paramétricas de R= x =( 1, 1, 2)+t(2, 1, 3)|t } . Ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos x =u+tv , b=a u=(1, 2, 5) ( 1, 1, 2)=(2, 1, 3), t la recta R para R 2 son: b=a u=(1, 2, 5) ( 1, 1, 2) x = a+tc, Dados los puntos p=(a 1 ,a 2 ,a 3 ), q =(b 1 ,b 2 ,b 3 ) 3 con p q, con lo que R es el conjunto definido como: =(2, 1, 3), { R= x =( 1, 1, 2)+t(2, 1, 3)|t } . la ecuación vectorial de la recta R que pasa por estos dos puntos se  { y =b+td. deduce así: El vector director ) ,a  = a aa 2 b de la recta R, ) ∈ R 3 R= x =( 1, 1, 2)+t(2, 1, 3)|t } . Shutterstock, 153747884 ( = b bb 2 • Competencia digital. Funciona como herramien- Siendo u = (a,b), v =(c,d). b= p q =(a 1 ,a 2 ,a 3 ) (b 1 ,b 2 ,b 3 ) =(a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ), es el La ecuación vectorial de esta recta está definida como: p Render de un edificio en 3D. ( ,, 3 , , 3 1 1 vector director de la recta R. La ecuación vectorial de esta recta está x =( 1, 1, 2)+t(2, 1, 3), t definida como: x =( 1, 1, 2)+t(2, 1, 3), t . . Algunos elementos de R: Indaga y escribe ejemplos de ta de investigación para que los estudiantes pro- a b c Glosario Analizamos las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta R a tra- . si t = 2, x =( 1, 1, 2) 2(2, 1, 3)=( 5, 1, aplicaciones de las ecuaciones x = p+tb =(a 1 ,a 2 ,a 3 )+t(a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ), si t = 2, x =( 1, 1, 2) 2(2, 1, 3)=( 5, 1, 4), 4), t vectoriales y paramétricas en si t = s+5, si t = s+5, s s , x =( 1, 1, 2)+( s+5)(2, 1, 3) , x =( 1, 1, 2)+( s+5)(2, 1, 3) otras ciencias. vés de ejemplos. =(9 2s, 6 s, 17 3s). colineales: dicho de un fundicen temas o aprendan de manera más ágil. punto: que se encuentra en la Ejemplos resueltos { =(9 2s, 6 s, 17 3s). t . , se obtie- , Competencia digital De la ecuación vectorial x =( 1, 1, 2)+t(2, 1, 3), , x =(x,y,z) R, existe t misma recta que otro. 1. Sean v =(2, 1, 3) y R= x =t(2, 1, 3)|t } . Sea R ⊂ R 3 la re- nen las ecuaciones paramétricas. Sea x =(x,y,z) R, existe t si t = 2, x =( 1, 1, 2) 2(2, 1, 3)=( 5, 1, 4), presentación de una recta que pasa por el origen 0=(0, 0, 0) y tal que x =(x,y,z)=( 1,1,2)+t(2,1,3)=( 1+2t,1+t,2+3t), El software libre Geo si t = s+5, s x =(x,y,z)=( 1,1,2)+t(2,1,3)=( 1+2t,1+t,2+3t), { , x =( 1, 1, 2)+( s+5)(2, 1, 3) es paralela al vector v =(2, 1, 3) y R= x =t(2, 1, 3)|t } . de- y de la definición de la igualdad de elementos de R 3 resultan las Gebra te permite graficar la . La ecuación vectorial de la recta R está • Interdisciplinariedad. Vincula la matemática con El año chino ordinario finida como x =t(2, 1, 3), t . Algunos elementos de R son: ecuaciones paramétricas que representan a la recta R y=1+t, t . dados un punto y un vector. =(9 2s, 6 s, 17 3s). ecuación de la recta en R 3 , Interculturalidad x = 1+2t, para t = 1, x = 1(2, 1, 3)=( 2, 1, 3), Ingresa al siguiente enlace y observa cómo se realiza: z=2+3t, las demás ciencias: matemática y arte, matemática consta de 12 meses lunares, para t =0, x =0(2, 1, 3)=(0, 0, 0)= 0, Si cambiamos el parámetro t por otro de la forma t =5s 1, s , lynk.ec/13m03 , si t = 3s+5, s su duración oscila entre 353 y 355 días. Indaga y responde; ¿cuando x =( 3s+5)(2, 1, 3)=(2( 3s+5), 3s+5, 3( 3s+5)). las ecuaciones paramétricas de la recta R se escriben como: e historia, etc. se celebra el año chino?, ¿por De la ecuación vectorial x =t(2,1,3), t , se obtienen las x = 1+2(5s 1), s . qué? y =5s, x =(x,y, Para el efecto, sea x =(x,y,z) R, existe t , ecuaciones paramétricas. z) R, existe t , tal que x =(x,y,z)=t(2,1,3)=(2t,t,3t), x =2t, z =2+3(5s 1), x =(x,y,z)=t(2,1,3)=(2t,t,3t), y de la definición de la igualdad de elementos de R 3 , resulta y =t, Desde el punto de vista conjuntista, • Interculturalidad. Permite conocer la forma como 52 M.5.2.20. Escribir y reconocer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de R= ( 1, 1, 2)+(2t, t, 3t)|t }= ( 1+2(5s 1), 5s, 2+3(5s 1))|s }. 53 { { z =3t. dos puntos de la recta, y graficarlas en R 3 . otras culturas desarrollaron la matemática. • Simbología matemática. Sintetiza los símbolos Evaluación formativa matemáticos aprendidos en la lección. I.M.5.2.2. 1 2 3 d) = 2 5 Trabajo colaborativo –1 –1 3 3 2 1 5 Competencia 4 4 1 5 1 1 Calcula los determinantes que se indican. f) A = 4 7 8 –2 2 –4 –3 0 2 1 socioemocional Hay ocasiones en que algunas personas piensan que no van a “avanzar” lo suficiente, a) 2 –5 d) A = –1 5 7 –1 –2 o no van a ser atendidos por los profesores si estudian con niños con necesidades educativas –4 0 2 0 g) A = –1 5 –1 4 6 Completa la solución del sistema de especiales; esta forma de pensar se debe cam- Evaluación formativa b) 2 –3 5 8 e) A = 2 2 0 0 – x + 2z = 3 = 0 Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. –1 5 ecuaciones por el método de Cramer. biar, todos aprendemos de todos. y +3z = 1 3x + 4y La evaluación formativa ha sido diseñada para desa- c) –3 –5 4 f) A = –1 2 4 Escribe verdadero (V) o falso (F) en cada a) |D| = = 7 En los siguientes ejercicios, establezcan 2 –1 enunciado de las propiedades de los de- 2 0 –1 1 por qué la igualdad es verdadera luego, cal- terminantes. 3 1 culen los determinantes y comprueben. 0 1 rrollar las destrezas del currículo. Incluye actividades 2 Sean A, B, C  M 2×2 []. Escribe tres ma- a) Si toda entrada en una fila (o 3 3 4 0 0 2 a) = 2 3 0 –1 2 1 columna) es cero, entonces |A| = 0. trices cuadradas y verifica que 2 1 –1 3 –1 det(ABC) = det(A)det(B)det(C) = 1 1 3 det(AB) det(C). b) Si una matriz B se forma b) |D x | = = 3 –1 4 2 –1 4 intercambiando dos filas (o columnas) 0 en las dimensiones conceptual, procedimental o cal- 3 c) Si dos filas (o columnas) de una matriz –1 3 2 b) = 0 4 0 3 1 3 de A, entonces |B| = –|A|. –2 0 –2 6 4 6 Halla el determinante de la matriz dada. 3 0 1 culativa y de modelización. Estas invitan a la reflexión, a) A = 5 –2 A son iguales, entonces |A| = 0. c) |D y | = = c) = 0 2 0 0 1 3 3 3 1 6 8 2 –1 0 3 –6 4 2 3 –1 5 En los siguientes ejercicios establece por d) |D z | = = 3 4 1 1 0 comprensión profunda, dominio de procesos y algo- b) A = 2 3 qué la igualdad es verdadera sin calcular 3 4 0 8 Prueben que: = ab. 1 –1 los determinantes dados. 0 1 1 1 1 0 28 4 |D x | 3 3 ritmos, desarrollo de valores, y aplicación a la realidad. c) A = 0 1 6 a) = – 8 1 4 e) x = = = Problema-decisión 1 1 1+a 1 1+b 1 2 1 3 2 |D| 6 –1 7 4 2 0 –5 2 –1 21 8 7 0 2 |D y | y = = = –3 1 f) 6 |D| Cada pregunta inicia detallando el indicador de eva- –1 4 –2 2 0 3 b) = 2 2 3 g) z = = = 9 Decide los procedimientos para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones li- 1 2 4 neales con el método de determinantes 5 |D z | –1 3 –1 d) A = 0 3 1 |D| 6 (método de Cramer). luación. Siempre existe un Trabajo colaborativo 3 3 0 4 3 8 4 9 0 0 6 4 La solución es x = a) x – y = 1 6 c) 3x + 4y = –5 1 1 2 3 2x – y = 4 –3x + 2y = –1 0 –2 2 3 0 3 acompañado de un recuadro con Diversidad fun- e) A = 1 0 –1 3 c) = 0 • ¿Cómo verificas que las soluciones encon- b) –x + 5y = –58 d) 2x + 3y = 2 2 6 1 0 0 5 4x = –32 tradas son correctas? Explica. x – 2y = 8 26 27 cional en el aula, o competencia socioemocional. 4 21/1/25 16:40 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 4 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 4 21/1/25 16:40]]> 0; (t en segundos). a) Si necesita llegar a una velocidad de por lo menos 1000 km/h para superar la estratósfera, determina el tiempo que demorará en superar esta capa de la atmósfera. Aproximadamente t = 9s v() =1000,8. km 9 h b) Halla la aceleración al primer segundo. m a() =110. S 2 9. Indica cuáles son el vértice de la parábola y el eje de simetría propuestos en cada inciso. 2 2 a) y + 2 = 3x + 6x + 3 V = (–1, –2) eje x = –1 b) y – 10y + 25 = x + 4 V = (–4, 5) eje y = 5 y y 4 8 7 3 (0, 7) 6 2 (–4, 5) 5 1 4 (0, 1) (0, 3) (-2, 0) x 3 –2 –1 0 1 2 –1 1 x (–1, –2) –2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 9 9 21/1/25 16:40 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 9 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 9 21/1/25 16:40]]> 0. Para λ  R, la función real λf está definida como: –λ, si x ≤ 0, Recuerda que… (λf)(x) = λf(x) = λx + 2λ, si x > 0 . Las propiedades del 1 producto de escalares por Particularmente, para λ = – tenemos: 4 funciones son las cuatro que se 1 , si x ≤ 0, detallan a continuación. 1 – f (x) = 4 Sean α, β  R , f, g  F A. 4 1 1 – x – , si x > 0. Se verifican las siguientes pro- 4 2 1 1 piedades: Para x = – 1 , – f (–1) = , para i. α (β f) = (α β)f . 4 4 ii. α ( f + g) = α f + βg. 1 iii. ( α + β)f = α f + βf. x = 2, – f (2) = –1, mientras que iv. 1 f = f . . 4 f(1) = –1, f(2) = 4. La demostración se deja como 1 En la Figura 2.6., se muestran las gráficas de f y de – f. investigación para el estudiante. 4 45 21/1/25 16:40 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 45 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 45 21/1/25 16:40]]>0 arbitrario, aproxima cada vez mas a una + determinada cantidad; p. ej., 1/2 cuando n n , siendo n 0 lo que debe determinarse. Entonces, 0 + 1/4 + 1/8 + 1/16…, se acerca d(u ,0)= u 0 = u < cuando n n . progresivamente a valer 1, sin n n n 0 llegar nunca. 2 2 2 Por ejemplo, si =10 , la desigualdad u = < < se verifica n n+5 n 2 + si se elige n> . En este caso, elegimos n 0 que verifique esta 2 desigualdad, por ejemplo, n =201 satisface la condición < . Así, 0 se tiene la implicación: n 0 2 n>201 d(u , 0)= u <10 = . n n 2 Decimos, entonces, que la sucesión (u ), definida como u = , n n n+5 ∀n converge a 0. M.5.1.59. Realizar las operaciones de suma y multiplicación entre sucesiones numéricas reales y la multiplicación de escalares por sucesiones numéricas reales aplicando las propiedades de los números reales. M.5.1.60. Identificar sucesiones convergentes y calcular el límite de la sucesión. M.5.1.76. Reconocer sucesiones numéricas reales que convergen para determinar su límite. 76 M.5.1.61. Conocer y aplicar el álgebra de límites de sucesiones convergentes en la resolución de aplicaciones o problemas con sucesiones reales en matemática financiera (interés compuesto), e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas. 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 76 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 76]]>0, n , tal que 0 1 0, 5 0, 20 0, m,n , con: n n n 2 n n 2 n n,m n 0 a n a < . m por lo tanto, a 3, o también lím a =3, . Definición. Sea (a ) S. n n n n n S. Nota que: i. Se dice que (a ) es una n sucesión acotada superior- 2 0 d(a ,3)= a 3 = 3n +n+5 3 = n 55 = n 55 < n+55 . mente, si y solo si, existe ∀n∈I. n n 2 2 2 n +20 n +20 n +20 n 2 c , tal que a n c, n 1. El número real c se llama Para n > 55 se tiene: cota superior de la sucesión (a ). S. n 2 3n +n+5 n 55 n 55 2n 2 ii. Se dice que (a ) es una suce- S. 0 d(a ,3)= a 3 = 3 = = < = 0, n n n 2 2 2 n +20 n +20 n +20 n 2 n n sión acotada inferiormente, si y solo si, existe c , tal ∀ 2 que c a , n I. n así, 0 d≤ (a ,3)< 0, d(a ,3)= a n 3 0. El número real c se llama n n n n n cota inferior de la sucesión Se denota con S al conjunto de sucesiones reales definidas en I ⊆ N. (a ). S. n S. iii. Se dice que (a ) es una n Definición. Sea (a ) S, . Se dice que (a ) S,onvergente, si y solo si, sucesión acotada, si esta es c n n existe L∈R que satisface la condición siguiente: es superior e inferiormente ∀ N ∀ >0, n ∈N, tal que ∀n∈N, con ≥n 0 a n – < . acotada. Es decir, existe c>0, N, con n n L ∀ 0 tal que a c, n I. El n Si (a ) S, número real positivo c se es una sucesión que converge a L, escribimos lím a =L que n n n llama cota superior de la se lee “el límite de a cuando n tiende a infinito es igual a L”; diremos n sucesión (a ). S. n también (a ) S, tiende a L cuando n tiende a infinito, lo que escribimos n a n n L. Ejercicio resuelto a c b Glosario 1 11 acotada: acción de + + 1, ∀ 1. La sucesión 1 es acotada, pues 11 1, nn Z . . Z n nn delimitar alguna cosa. cota: elemento superior o infe- Nota que la cota superior de esta sucesión es 1. Además, converge rior a todos los de un determi- 1 1 nado conjunto ordenado. a 1, esto es, lím 1 =1 o también 1 1. n n n n divergente: serie en que la suma de sus términos tiende al 2. La sucesión (sen(n)) es divergente. Esta es acotada; una cota supe- infinito. rior es 1. 77 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 77 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 77 21/1/25 16:41]]> 0, ∀n∈N. N A. n es convergente. Por ejemplo, n n n n 5 2 la sucesión 3 es A continuación, si dividimos numerador y denominador por n , n 2 creciente y acotada tenemos 2 superiormente por 3, 3n +10n 3+ 10 2 5 3n +10n n 2 n + + Z . lím 3 =3. a = 2 = 2 = , n n∈Z . n 5 15 n n 2 n +5n+15 n +5n+15 1+ + 5. Toda sucesión a ( ) decre- n 2 n n 2 n ciente y acotada inferior- 1 mente es convergente. lím = 0, Por ejemplo, la sucesión: Por otro lado, tenemos los siguientes resultados: n n 10 1 lím 7 + = 7 . lím 2 = 0. es 3 n n +n n n decreciente y acotada 10 Entonces, lím inferiormente por 7 + , = 7 . 5 1 10 1 15 1 3 n n +n lím =5 lím =5 0=0, lím =10 lím =0, lím =15 lím =0. 10 n n n n n n n n n n 2 n n 2 lím 7 + = 7 . 3 n n +n Con estos argumentos, en el numerador y denominador de la sucesión (a ) se tiene: n 10 5 15 lím 3+ =3, lím 1+ + =1. n n n n n 2 En consecuencia, todos estos resultados se expresan como: 10 1 3+ 3+10lím líma = lím n = n n = 3. n n n 5 15 1 1 1+ + 1+5lím +15lím n n 2 n n n n 2 78 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 78 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 78]]> = n n n n n n n n n 25 n 25 5 20 n n n n n> n> = 25 ==125. 25 =125. 0,2 n> =10. 25 7 líma = lím 10 0,2 = + 25 = =125. 2 =125. n n> 0,2 =125. n de donde n Demuestra que el límite de la sucesión 5 20 n n> 0,2 n = 0,2 10 < 0,2. 0,2 n 126, a + n 126, a n 10 < 0,2. 5 20 indicado es el correcto. n lím 10 n n 2 =10. lím 10 n 126, a 10 < 0,2. n < 0,2. 10 < 0,2. n 126, a n n Para n + 126, a 10 =10. n n n n 2 n 126, a n 10 < 0,2. 5 20 ⎛ −2 2 2 n +5 n − ⎞ 1 2 a =10 + 2 , L = 10 Ahora prueba con los literales a y c del 5 20 , L = 10 a =10 + n lim 2 ⎟ a) lim⎜ ⎛ ⎜ ⎝ −2 5 n +5 n − ⎞ 1 = = 3 2 2 = 2 n n n ejercicio 2. n n ⎟ ⎠ 2 −3 3 3 n→∞ n→∞ ⎝ 5 −3 n 2 n ⎠ 3 5 20 5 205 20 5 20 25 5 20 25 5 20 5 20 5 20 a L = a n L = 10 + 2 10 = + 10 2 + 2 + 10 = + = + 2 < < + = < n < + 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n 25 25 ⎛ 2 2 n +2 ⎞ 25 25 9 n> Calculen líma para a , que se define ⎞ =125. = b) lim ⎜ ⎛ n +2 = ∞ ∞ = ∞ n> = =125. 0,2 n n n ⎟ lim n→∞⎝ en cada ítem. n→∞ ⎜ n +2 ⎠ ⎟ ⎠ = ∞ 0,2 n 126, a 10 <0,2. n +2 ⎝ n ⎛ n +5 n − ⎞ 1 2 n 126, a n 10 < 0,2. 2 lim ⎛ −2 2 +5 n − ⎞ 1 ⎟ ⎞ = 2 a) Observa. ⎛ ⎜ ⎛ lim 3n + 4 n−2 2 n n ⎞ +5 lim 3n + 4 = -3; n−2 lim 3 n→∞⎝ ⎜ 5 = -3; 0 ⎟ n→∞ = c) lim ⎜ ⎝ ⎜ 2 5 −3 = 2 −1 ⎠ ⎠ ⎟ = 2 0 = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 lim n 2 3 n→∞-n + 5 ⎟ n−3 n→∞ n + 5 n→∞ n→∞ ⎝ ⎝ -n + 5 n⎠ n−3 2 ⎠ 3 a = 2 2 , a = 2 2 + 2 2 = 2 2 , 2 1 lim 2n 2 2 ; a = 1 1 2 1 , a = 1 1 2 1 + 2 1 3 1 = 1 1 3 1 , 2n = ⎞ lim⎛ 2 1 ( n→∞ 7n + 5 +2 n→∞ ⎛ n 2 2 = 7 ; 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 12 2 1 2 2 1 3 2 1 2 1 3 2 2 ⎞ 1 lim n − n = d) lim ⎜ ⎛ 7n + 5 +2 n + ⎟ ⎞ 7 = ∞ ) − – = – 1 a = 2 2 + 2 2 + 2 2 =1 2 ,..., n +2 2 n 2 3 = ∞ lim n +2 ⎟ n→∞ ⎜ ⎝ 2n +2 ⎟ ⎠ = ∞ 2 2 2 a = 1 1 2 1 + 2 1 3 1 + 3 1 4 1 =1 4 1 ,..., n→∞ lim n→∞ ⎜ ⎠ lim 7n n +2 3 2 n 1 ⎠ n→∞ ⎝ ⎝ 2 + 2n - 5 -7 Completa. 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4 2 = lim 7n + 2n - 5 -7 ; n→∞ 2 2 = 3 3 ; a = 1 1 =? n 1. n→∞ -3n + 5 -3n + 5 n n 1 e) lim 3n + 4 = -3; -3 = -3 a = k=1 k 1 2 ( k+1) 2 2 =? n 1. lim 3n + 4 n→∞ lim 3n + 4 -n + 5 = -3; n n→∞ n→∞ -n + 5 = -3; k=1 k 2 ( k+1) -n + 5 2 lim 2n = 2 2n f) lim 7n + 5 = 2 ; 2 7 √ 2 7 b) a = n+1 n. n→∞ 2n lim n = 7 ; √ n→∞ n→∞ 7n + 5 = 7 ; 7 7n + 5 2 lim 7n + 2n - 5 -7 ; c) a = a 1 , a>1. n lim 7n + 2n - 5 =-7 2 3 ; 2 lim 7n + 2n - 5 2 g) n→∞ -3n + 5 =-7 7 = - 7 n n→∞ -3n + 5 = 2 3 ; – n→∞ -3n + 5 3 3 3 d) a = 1 ( 1) +( 1) n 1 . 2 n n n 81 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 81 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 81 21/1/25 16:41]]> 6) = 0,657 2 P(k = 2) = –18,9 % c) La probabilidad de que ninguna de ellas b) Marque al menos 6 penaltis. P(X ≥ 6) = 0,894 8 sea defectuosa. P(k = 0) = 3,43 % 87 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 87 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 87 21/1/25 16:41]]> 30) = 50 % 2 Determina las siguientes probabilidades 7 En un cierto barrio de la ciudad, el 60% en N(0, 1). de los hogares tienen al menos dos tele- visores. Se elige al azar una muestra de 50 a) P(1,5 ≤ Z ≤ 2). 81,86 % hogares. Se pide: b) P(–2,3 ≤ Z ≤ 3,7). 98,92 % a) ¿Cuál es la probabili- c) P(–3,4 ≤ Z ≤ –1,8). 3,56 % dad de que al menos 20 de los hogares d) P(–1,6 ≤ Z ≤ 1,6). 94,49 % tengan al menos dos televisores? www.freepik.es P(X > –2,89) = 99,81 % 3 Calcula en N(20,4) las siguientes proba- b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 bilidades: hogares tengan al menos dos televisores? P(35 < X ≤ 40) = 7,16 % a) P(X ≤ 25). 89,44 % Problema-decisión 8 b) P(X ≥ 17). 77,34 % Los valores de las acciones de cierta em- presa se distribuyen en forma normal con media de $ 20 y desviación estándar 4 Determina las siguientes probabilidades: de $ 3. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de una empresa se encuentre entre $ 18 y $ 20? a) P (0,5 ≤ Z ≤ 0,95) = 13,74 % Imagina que eres el asesor financiero de una empresa y te percatas que, por inesta- b) P (0,43 ≤ Z ≤ 1,99) = 31,03 % bilidad del mercado, existe la probabilidad c) P (1,56 ≤ Z ≤ 3,44) = 5,91 % que las acciones de la empresa se coticen a menor precio, ¿qué decisión tomarías? d) P (–0,4 ≤ Z ≤ 1,05) = 50,85 % Justifica. P(18 ≤ X ≤ 20) = 24,86 % e) P (–2,6 ≤ Z ≤ 3,99) = 99,53 % 9 f) P (–1,67 ≤ Z ≤ 2,56) = 94,73 % Los sueldos mensuales en una empresa si- guen una distribución normal con media g) P (0,73 ≤ Z ≤ 1,76) = 19,35 % de 1 200 dólares y desviación estándar de 200 dólares ¿Qué porcentaje de trabaja- h) P (1,25 ≤ Z ≤ 3,02) = 10,43 % dores ganan entre 1 000 y 1 550 dólares? 92 P(1 000 ≤ X ≤ 1 550) = 80,12 % 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 92 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 92]]> 2)? P(X = 2) = 0,022 3 57,69 % j) Si λ = 8, ¿a qué es igual P(X = 10)? P(X = 10) = 0,099 3 3 Resuelve el siguiente problema. 6 Un comerciante de naranjas tiene cono- Resuelve el siguiente problema: cimiento de que el 3 % del cargamento Los buses llegan al final del recorrido de está dañado. Si una compradora elige una empresa de transporte con un tiem- 100 naranjas al azar: po medio entre llegadas de 5 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que 4 naranjas ¿Cuál es la probabilidad de que no lle- gue ningún bus durante un intervalo de estén dañadas? 16,8 % treinta minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que de 1 a 3 na- P(X = 0, λ = 6) = 0,002 479 ranjas estén dañadas? 59,74 % 4 Encuentra la solución utilizando la dis- tribución de Poisson. La probabilidad de que una flash me- Shutterstock, 1394084486. mory dure al menos un año sin que fa- lle es de 0,95. Calcula la probabilidad de que en una muestra de 20: 7 a) 12 duren al menos un año. 96,53 % Interpreta el siguiente problema y b) 5 duren menos de un año. 100 % resuelve: c) Al menos 2 duren menos de un año. 100 % Un banco recibe en promedio 6 cheques falsos al día, suponiendo que el número 5 de cheques falsos sigue una distribución Determina las siguientes probabilidades: de Poisson, halla: a) Si λ = 6, ¿a qué es igual P(X = 3)? P(X = 3) = 0,089 2 a) Probabilidad de que se reciban cuatro che- ques falsos en un día. P(X = 4, λ = 6) = 0,133 9 b) Si λ = 2, ¿a qué es igual P(X = 1)? P(X = 1) = 0,270 7 98 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 98 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 98 21/1/25 16:41]]>2, λ=1)= 0,264 2 mas de construcción. 4,08 % b) Una casa incumpla las normas de cons- Shutterstock, 1036827943. trucción. 13,04 % c) Dos casas no cumplan con las normas de Trabajo colaborativo construcción. 20,87 % d) Al menos tres casas incumplan las nor- Diversidad funcional en el aula mas de construcción. 62,01 % Cuando trabajamos con estudiantes con alguna 9 Resuelve. necesidad educativa especial, es necesario habi- Se ha determinado que para abastecerse litar espacios de tiempo flexibles para el refuerzo en la asignatura. de combustible, los vehículos llegan a una gasolinera siguiendo una distribución de Poisson de parámetro 1,6. Calcula la pro- Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. babilidad de que: 12 La variable X sigue una distribución de a) El número de vehículos que llega sea supe- Poisson con parámetro = 0,5. Hallen: rior a 3. 21,66 % a) P(X = 1). b) P(X ≤ 2). c) P(X > 3). b) Esté comprendido entre 2 y 5. 46,9 % 30,3 % 98,56 % 1,8 % 13 10 Una entidad bancaria recibe por día en Calcula las siguientes probabilidades: promedio 6 cheques sin fondo. Cuáles son las probabilidades de que reciba: a) Si λ=4 , ¿a qué es igual P(X ≥ 2)? P(X≥2) = 0,908 43 λ=4 λ=4 a) 5 cheques sin fondo en 1 día dado. 16,06 % λ=4 λ=5 λ=4 b) Si λ=5, ¿a qué es igual P(X > 1)? P(X>1) = 0,959 6 b) 15 cheques sin fondo en cualquiera λ=4 λ=5 λ=5 de 2 días consecutivos. 7,24 % λ=2,3 λ=5 λ=2,3 λ=5 c) Si λ=2,3, ¿a qué es igual P(X > 4)? P(X>4) = 0,083 7 λ=2,3 λ=0,9 λ=2,3 14 λ=0,9 λ=2,3 El 8 % de registros contables de una em- λ=0,9 λ=4,1 d) Si λ=0,9, ¿a qué es igual P(X ≤ 4)? P(X≤4) = 0,997 7 λ=0,9 presa presentan algún problema. Si una λ=4,1 λ=0,9 λ=4,1 λ=4,1 λ=2,2 λ=2,2 e) Si λ=4,1, ¿a qué es igual P(X ≥ 10)? P(X≥10) = 0,009 6 auditora toma una muestra de 40 regis- λ=4,1 tros, ¿cuál es la probabilidad de que exis- λ=2,2 λ=2,2 λ=2,2 f) Si λ=2,2, ¿a qué es igual P(X ≤ 4)? P(X≤4) = 0,927 5 tan 5 registros con problemas? 1,14 % 99 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 99 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 99 21/1/25 16:41]]> –0,2]. 0,5793 n= 0,1, 2, . b) P[Z > 1 ,27]. 0,102 n ( f 0 ( )) . c) P[–0,52 < Z < 1,03] 0,547 3 3 Sea (f ) la sucesión definida como d) P[Z < 0,25]. 0,5987 . f n 4 n ... f (x) = ((–1) + 1)x x∈[0, 2], n = 0, 1, 2, . n n ( n f 0 ( )) . Representa gráficamente las primeras 7 cinco funciones. Para el efecto, para cada Para preparar un pastel para un matri- 1 f . + n∈Z , elabora una tabla de valores de monio el tiempo empleado en horas n 4 n ( f 0 ( )) . f (x), y con estos, construye cada gráfica. sigue una distribución normal N (8, 2). n 4 Luego, estudia las sucesiones numéricas ¿Cuál es la probabilidad de que se tarde . f 3 reales siguientes: f n 3 . el panadero en prepararlo? n 4 5 n ( n n ( a) f 0 ( )) . c) f f 0 ( )) . . a) Menos de 6 horas 0,1587 3 3 1 b) Entre 4 y 6 horas 0,0441 b) f . d) f 2 ( )) . . n ( f n 4 n 4 n ( f 0 ( )) . 4 106 f . n 3 1 f . n 4 5 f . n 3 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 106 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 106 4 21/1/25 16:41 21/1/25 16:41 f . n ( n 3 f 2 ( )) . 5 f . n 3 n ( f 2 ( )) .]]> 0 con a ≠ 1 fijo. La función u: se llama Z →  función exponencial de base a y de variable entera. n → a n Desequilibrio cognitivo ¿Cuáles son las propie- Propiedades 0 dades de la potenciación cuan- i) u(0) = a = 1, a > 0 do las bases a, b   no nulas y ii) Para todo n  Z, u(n) = a > 0. n los exponentes m, n  ? iii) Para todo m, n  Z, u(m + n) = a m+n = a a = u(m)u(n). m n iv) Si a > 1 y n , n  Z, tal que n < n , entonces 1 1 2 2 u(n ) = a 1 < a 2 = u(n ), es decir que la función u es creciente. n n 1 2 v) Si 0 < a < 1 y n , n  Z, tal que n < n , se tiene 2 1 2 1 n u(n ) = a 1 > a 2 = u(n ), esto es, la función u es decreciente. n 1 2 + vi) Para a > 1 y n  Z , el número real u(n) = a es tan grande como n Recuerda que… –n se quiera según n lo sea, y u(–n) = a es positivo y tan pequeño Las propiedades i) a como se quiera para n suficientemente grande. vii) de la función exponencial vii) Para 0 < a < 1 y n  Z , el número real u(n) = a es tan pequeño + n de base a y de variable entera como se quiera para n suficientemente grande, y u(–n) = a es –n también se verifican para la tan grande según n también lo sea. función exponencial de base a y de variable racional. n Nota que: El gráfico de u es el conjunto discreto G(u) = {(n, a ) | n  Z}. r  Q ⇔ ∃m, n  Z m Ejercicio resuelto con n ≠ 0, tal que r = , n m n Consideremos la función definida como u(n) = 5 ; n  Z. Tenemos + 0 n r v(r) = a = a n u(0) = 5 = 1, u(n) > 0, ∀n  Z, más aún, u(n) = 5 ≥ 5, ∀n  Z , 1 1 + –n n = (a ) = (a ) . 0 < u(–n) = 5 = < 1, ∀n  Z . m n m 1 n El grafo de v es el conjunto 5 r G(v) = {(r, a ) | r  Q}. Verifiquemos que u es estrictamente creciente. Para n , n  Z, tal que 2 1 + n < n , existe p  Z , tal que n = p + n . Luego, Escribe las propiedades de 1 2 2 1 r a con r  Q y a > 0, a ≠ 1. u(n ) = 5 2 = 5 p+n 1 = 5 u(n ). p n 1 2 Como 5 > 1, se sigue que u(n ) < u(n ). Así, n < n ⇒ u(n ) < u(n ). p 1 2 1 2 1 2 El grafo de u es el conjunto G(u) = {(n, 5 ) | n  Z}. n Sea a > 0 con a ≠ 1 fijo. La función v: Q →  r → v(r) → a r se llama función exponencial de base a y de variable racional (variable independiente). M.5.1.74. Reconocer y graficar funciones exponenciales analizando sus características: monotonía, concavidad y comportamiento al infinito. 110 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 110 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 110]]> 0 con a ≠ 1 fijo. Para x   \ Q, ¿cómo se define a ? Recuerda que… x ¿Qué significado atribuimos a a ? x En la Figura 4.1., se repre- Consideramos, por ejemplo, 2 . Tomando aproximaciones de senta la gráfica de y cuando 2 2 ( 2 ≅ 1,414 213 562), tenemos las siguientes: 0 < a < 1. y 2 ≅ 2,657 376 28, 1,41 2 1,4142 ≅ 2,665 119 089, 2 1,414213 ≅ 2,665 143 104, 2 1,41421356 ≅ 2,665 144 138, ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción ⋮ 1 y = a x 2 2 ≅ 2,665 144 143. 0 x En definitiva, consideramos aproximaciones de 2 m siendo (r ) una 0 < a < 1 r m sucesión de números racionales que son aproximaciones de 2 y p Figura 4.1. que convergen a 2 , de modo que, en forma intuitiva, En la Figura 4.2., se representa la gráfica de y, a > 1. 2 = lím 2 , y r → 2 . 2 r m m→∞ m m→∞ y r Observa que r  Q y 2 m están bien definidos. m x De manera general, a se aproxima con una sucesión de números rea- les de la forma a m , siendo r  Q aproximación de x, de modo que r r m m converge a x para m que tiende al infinito. 1 y = a x + Definición. Sea a > 0, a ≠ 1 fijo. La función f de  en  , definida 0 como: a > 1 x f(x) = a , x  , x p Figura 4.2. se llama función exponencial de base a. Dom(f) = , Rec(f) = {f(x) | x  } = ]0, ∞[. A la función exponencial de base a se le denota también Ejercicios resueltos Exp , esto es, a +  →  1. Considerar la función f: . Tenemos Dom(f) = , Exp :  →  + x → f(x) = 2 x a x → exp (x) = a . x a Rec(f) = ]0, ∞[. El grafo de f es el conjunto G(f) = {(x, 2 ) | x  }. x Las propiedades que hemos precisado para la función Algunos valores de f se muestran en la tabla. Con dichos valores v(r) = a , r  Q se verifican r obtenemos algunos puntos de G(f). para la función f(x) = a , x  Q. x 1 f(–3) = 2 = = 0,125; f(0) = 2 = 1; f(3) = 2 = 8. –3 3 0 3 2 x –3 –2 –1 0 1 2 3 f(x) = 2 0,125 0,25 0,50 1 2 4 8 x Nota que si n > 1 suficientemente grande, f(n) = 2 es tan grande n 1 como se quiera, y f(n) = 2 = , se aproxima a cero como se –n n quiera. 2 111 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 111 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 111 21/1/25 16:41]]> 0 sea suficientemente grande. Por otro lado, la gráfica 6 se aproxima al eje x tanto como se quiera, en la medida en que – x y = 2 x 5 sea muy grande, con x < 0. 4 La función f es estrictamente creciente, y se evidencia en la Figura 3 4.3. de f. Además, esta es una función biyectiva. 2 1 Demostración de biyección i) Inyectiva –3 –2 –1 0 1 2 3 x + x Sean , x   con x < x . Existe p   , tal que x = x + p. p Figura 4.3. Luego, 1 2 1 2 2 1 p x 2 2 = 2 1 +p = 2 2 1 , x x y como 2 > 1, de esta igualdad se deduce 2 1 > 2 2 . p x x ii) Sobreyectiva + Sea y   . Halla x  , tal que y = 2 . Admitimos que esta ecua- x ción siempre tiene solución en , a la que notamos x �. Competencia Como la función es inyectiva y sobreyectiva, se concluye que es comunicacional biyectiva. El censo del año 2011  →  + confirmó que, en Ecuador, la 2. Sea f la función real definida como f: . 1 población aproximada era de x → f(x) = 2 x 14 388 000. Estudios realizados por el INEC manifiestan que la Tenemos Dom(f) = , Rec(f) = ]0, ∞[ y el grafo de f: tasa de crecimiento aproxima- 1 da es del 2,19 %. Para que los G(f) = x, | x   . 2 x gobiernos locales, regionales y nacionales apliquen programas En la tabla se muestran algunos puntos. equitativos de distribución de bienes y servicios, deben utilizar x –3 –2 –1 0 1 2 3 modelos exponenciales que les 1 permitan conocer el crecimien- f(x) = 2 x 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125 to y decrecimiento poblacional. En la Figura 4.4., se muestra la y gráfica de esta función. Para 8 n > 1 tan grande como se 7 1 quiera, f(n) = es tan y = 2 1 x 6 Shutterstock, 522445369 pequeño como se quiera, 5 4 2 n mientras que 1 n 2 –n p Gráfico de crecimiento poblacional. f(–n) = = 2 es tan 3 2 grande como se quiera. Escribe otro ejemplo de la 1 vida cotidiana que se pueda La función f es decreciente, modelar a través de la función lo que se evidencia en la grá- –3 –2 –1 0 1 2 3 x exponencial. fica de esta función. p Figura 4.4. 112 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 112 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 112 21/1/25 16:41]]> 0 se verifican: 5 cial determinada por: x –x –x 2 < 3 < 10 , y 10 < 3 < 2 . y = 2 x r = 6e , x x –x kx 4 3 donde r es el riesgo de tener un 2 accidente automovilístico, x es la concentración de alcohol en 1 la sangre, y k es una constante. u Figura 4.6. –3 –2 –1 0 1 2 3 x 113 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 113 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 113 21/1/25 16:41]]> 0 con a ≠ 1 y f la función de  en  , definida como f(x) = a x ¿Cómo determinas si + una función tiene inversa? x  . Tenemos Dom(f) = , Rec(f) =  . La función es biyectiva. a) Inyectiva: x , x  , x ≠ x ⇒ a = f(x ) ≠ f(x ) = a . x 2 x 1 2 1 2 2 1 1 + + x Desequilibrio cognitivo b) Sobreyectiva: Rec(f) =  ⇔ ∀y   , ∃x  , tal que y = f(x) = a . ¿Cómo demuestras que La función inversa de la función f se define a continuación: una función es biyectiva? + f :  →  –1 y → f (y) = x. –1 Esta función está relacionada con la función directa f mediante la si- guiente equivalencia: + x y = f(x) = a ⇔ x = f (y), x  , y   . –1 Al número real f (y) se lo denomina logaritmo de base a de x y se lo –1 nota log (y). Así, a x y = a ⇔ x = log (y). a Recuerda que… Como se ha dicho, la función exponencial dada como Exp (x) = a , x a A, B son dos conjuntos x   es biyectiva, por lo tanto, existe la función inversa notada (no vacíos) cualesquiera y f como Log , esto es, es una función de A en B que a + suponemos biyectiva, esto es, Log :  →  A → B a y → log (y), a f: x → f(x), donde log (y) es la imagen de la función Log en y. a a de modo que se verifican las dos condiciones. La función Log se llama función logaritmo de base a y el número real a log (x) con x > 0 se llama logaritmo de base a de x. Inyectividad: a x , x  A, x ≠ x ⇒ f(x ) ≠ f(x ) + 1 2 1 2 1 2 El Dom(Log ) =  , Rec(Log ) = , la función exponencial y la logarít- a a Sobreyectividad: mica están relacionadas mediante la siguiente equivalencia: Rec(f) = B. + y = exp (x) ⇔ x = log (y), x  , y   . a a Nota que cuando la base a = e, y > 0 se escribe ln(y), lo que se denomi- na logaritmo natural de y, o también, logaritmo neperiano. Tenemos: y = exp(x) ⇔ x = ln(y). a b Glosario c Cuando a = 10, y > 0, se escribe log(y) al logaritmo de base 10 de y. biyección: aplicación biyectiva. Ejercicios resueltos +  →  biyectiva: dicho de una aplica- 1. La función Exp : x ción de un conjunto en otro: 2 x → exp (x) = 2 es biyectiva. 2 + que cumple que su correspon- Su función inversa está definida como Log :  →  dencia inversa es también una 2 x → log (x) aplicación. 2 El número real log (x) se llama logaritmo de base 2 de x con x > 0. 2 M.5.1.75. Reconocer la función logarítmica como la función inversa de la función exponencial para calcular el logaritmo de un número, y graficarla analizando esta relación para determinar sus características. 116 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 116 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 116]]> 1 es denominan de esta forma por 2 log (x) > 0. La función logarítmica de base 2 es estrictamente cre- el nombre de su inventor, John 2 ciente: Napier, quien intentó establecer, ∀x , x  ]0, ∞[, x < x ⇒ log (x ) < log (x ). un procedimiento para agilitar 1 2 1 2 2 1 2 2 los complicados cálculos que +  →  2. La función Exp : es biyectiva. Su función debían realizarse en astronomía 1 1 y trigonometría. 1 2 x → exp (x) = x 2 2 Indaga sobre John Napier, +  →  inversa está definida como Log : , luego confecciona una ficha 1 2 y → log (y) bibliográfica. 1 2 de modo que se tiene la siguiente equivalencia: y = exp (x) ⇔ x = log (y). 1 1 2 2 a Glosario La tabla de valores de la función Log es la que se detalla a c b 1 2 continuación. Su gráfica se representa en la Figura 4.8. astronomía: ciencia que trata de los astros, de su movi- exp (–3) = 2 = 8, log (8) = –3, miento y de las leyes que lo rigen. 3 1 1 2 2 exp (–2) = 2 = 4, log (4) = –2, 2 1 1 2 2 y exp (–1) = 2, log (2) = –1, 3 1 1 2 2 2 exp (0) = 1, log (1) = 0, 1 1 1 2 2 1 1 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x exp (1) = , log = 1, 1 1 1 2 2 2 2 –2 y = log (x) 2 –3 1 1 exp (2) = . log = 2. 1 1 2 4 2 4 p Figura 4.8. Gráfica de la función Log x. 1 2 Con esta función, para 0 < x < 1, se tiene log (x) > 0 y para x > 1 se 1 2 1 tiene log (x) < 0. Además, la función es estrictamente decreciente: 2 ∀x , x ∈  , x < x ⇒ log (x ) > log (x ). + 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 117 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 117 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 117]]> 0, a ≠ 1 base de la función logarítmica Log . Se veri- a Una curiosidad sobre fican las siguientes propiedades. las aplicaciones de logaritmos + en la vida real es la de Benjamin i) log (αβ) = log (α) + log (β), ∀α, β   . a a a Franklin, el famoso científico. En α + su testamento, Franklin donaba ii) log = log (α) – log (β), ∀α, β   . a a a β 1 000 libras a los habitantes de m m + n Boston, a condición de que se iii) log (α ) = log (α), ∀α   , ∀m, n  Z con n ≠ 0. n a a prestasen al 5 % a artesanos + jóvenes. Según Franklin, al cabo Demostración. Sean α, β   . de 100 años, la suma se habría i) De la definición de las funciones Exp y Log se tienen las siguientes convertido en 131 000 libras. equivalencias: a a Comprobemos si esto es cierto. u = log (α) ⇔ α = exp (u), a a El capital final al cabo de esos v = log (β) ⇔ β = exp (v). a a 100 años será: x = 1 000 · 1,05 . Para calcular Luego, αβ = exp (u)exp (v) = exp (u + v), 100 a a a esa enorme potencia, usaremos los logaritmos: de donde u + v = log (αβ) y consecuentemente, a log (αβ) = u + v = log (α) + log (β). x = 1 000 · 1,05 ; a a a 100 log x = log 1 000 + 100 · log 1,05; log x = 3 + 100 · 0,021 2 = 5,12; Observaciones: + x = 10 = 131 825,67 libras i) Sean α, β, γ   . Aplicando la propiedad asociativa del produc- 5,12 to de números reales y la propiedad i) del teorema precedente, Adaptado de: https://docs.google.com/presen- obtenemos: tation/d/1Dxguaru5WCw4hHw- log(αβγ) = log (α(βγ)) = log (α) + log (βγ) = log (α) + log (β) + log (γ). a a a a a a QWNPj6INmEEkztPs38hikZeiM- cO4/htmlpresent?hl=es De manera general, sean α , … α   . Entonces, + 1 n log(α × … × α ) = log (α ) + … + log (α ). 1 n n a a 1 + ii) Sea α   . Puesto que log (1) = 0, se sigue que: a 1 log = log (1) – log (α) = – log (α). a α a a a + iii) Para m = 1 y n Z con n ≠ 0, α   , se tiene: Shutterstock, 423235870 log (α ) = log (α). 1 1 n n a a Para n = 1, m Z, α   , se tiene log (α ) = mlog (α). + a m a p Benjamin Franklin (1706 - 1790). Ejemplos resueltos Indaga y escribe otras aplica- ciones de los logaritmos en la 1. Se conoce que log(2) ≃ 0,301 0, log(3) ≃ 0,477 1. Calcular el valor 5 vida cotidiana. aproximado de log( 144 ) con cuatro cifras luego de la coma decimal. Como 144 = 2 × 3 , entonces, 4 2 4 2 5 5 5 log( 144 ) = log 2 × 3 = log(2 × 3 ) 5 4 2 4 2 4 2 = log(2) + log(3) = × 0,301 0 + × 0,477 1 = 0,431 64. 5 5 5 5 118 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 118 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 118 21/1/25 16:41]]> 0 y a ≠ 1. Para x > 0 se tiene: 2 z = log (8) – 4log (2) + 3log (1 + x). Simplifiquemos la escritura 3 a a a de z. Apliquemos las propiedades de los logaritmos y escribamos z con un solo logaritmo. Tenemos: Competencia 2 socioemocional z = log (8) – 4log (2) + 3log (1 + x) 3 a a a 2 Un hábito positivo se = log (8 ) + log (2 ) + log (1 + x) 3 llama virtud, un hábito negativo –4 3 a a a 2 se llama defecto. Encamina tus = log 8 × 2 × (1 + x) = log ((2 × 2 × (1 + x) ) acciones para formar hábitos 3 –4 2 –4 3 3 a a 1 positivos y tu vida será más feliz. 3 = log (1 + x) . a 4 Responde: ¿qué piensas sobre esto? Debate con tus compa- ñeros. 119 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 119 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 119 21/1/25 16:41]]> 0 se llama lo- + u. Halla u de forma simplificada. garitmo natural de x. Se tiene x 1 y = exp(x) = e ⇔ x = ln(y). a) log(u) = log(a + b) – 3log(a) + 2log(b + c). 2 log(u) = √ a + b (c + b) 2 a) Utiliza una calculadora y genera una tabla de a 3 1 1 valores que te permitan construir su gráfica. 2 b) ln(u) = ln(a + b ) – (ln(a + b) – 2 2 3 b) Grafica la función y = ln(x). ln(b – a)), b > a. In u = 2 a + b 2 2 ^ h + – ^ bah 3 ab c) Responde las preguntas. 1 c) log (u) = (3log (a) – (5log (b) + 2log (c))). • ¿En qué intervalo la función es negativa, 2 4 2 2 2 01 1 3 log u = 4 a 5 3 2 positiva? Negativa (, ]positiva [ ,) 2 ^h bc = x 0 1 1 3 • ¿Cuál es la ecuación de la asíntota de la ^ , 10h d) log (u) = log (a) + log (a) + log (c) Negativa (]positiva [, ) 0 1 3 5 3 5 4 5 2 5 función? x = 0 b – log (b) + 3log (a + c) – log . • ¿En qué punto corta al eje de las x? ^ , 10h 5 5 5 a + 3 aa $ 4 ac ^ ach 3 (1, 0) 3 log u = b 2 5 ^ h 5 3 A partir de la equivalencia Analiza el comportamiento de las si- y = exp (x) ⇔ x = log (y), encuentra guientes gráficas. Determina las asínto- tas de cada una y los intervalos donde la a a los valores de la función log a partir de función es creciente o decreciente. a la función exponencial en cada caso. a) y a) exp3(0) = 1 log (1) = 0 3 3 y = 2 + 0,5 exp(–2x) 2 1 y = 2 b) exp3 = √3 log (√3) = 1 1 3 2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x , As íntota y = 2 ; decreciente –33h ^ , ; y = As íntota verticalx = 15 , ;horizontaly = 16 0 120 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 120 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 120 21/1/25 16:41]]> 10. log (x) 10 –4 a) ¿En qué punto corta al eje x la función logarítmica? 9 Determinen el dominio de cada función –5 En el punto (1, 0). φ. Estudien la existencia de asíntotas. A b) ¿Qué tipo de monotonía tiene la función? continuación, calculen algunos valores –6 La función es creciente de ]0, +∞[. de la función φ y tracen la gráfica de esta c) ¿Cuál es la asíntota vertical de la función función y de su o sus asíntotas. logarítmica? Tiene asíntota vertical y es el eje y, x = 0. 1 a) φ(x) = , x  Dom(φ). x d) Según la gráfica, ¿existen logaritmos de nú- 8 – 2 5 meros negativos? b) φ(x) = , x  Dom(φ). –x 2 No existen logarítmos de números negativos ya que no hay la gráfica en (4 – 10 ) el II y III cuadrantes. e) ¿Existe el logaritmo de cero? c) φ(x) = , x > 0, x ≠ 4. 5 No existe el logaritmo de cero, porque la curva no corta el eje y. 2 – log (x) 2 121 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 121 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 121 21/1/25 16:41]]> 0. 2 A continuación, tenemos: • La solución de la ecuación z 3 z 3z exponencial con la forma z = log (x) ⇔ x = 8 = (2 ) = 2 . 8 1 a = a es la solución (o log (x) = 3z ⇔ z = log (x). g(x) f(x) soluciones) de la ecuación 2 3 2 1 f(x) = g(x). Esto se debe a que Consecuentemente, log (x) = log (x). De forma similar, se obtiene: dos potencias con la misma log (x) = 2log (x). 8 3 2 base son iguales, si y solo si, 2 2 sus exponentes son iguales (inyectividad de la función Reemplazando estos resultados en la ecuación propuesta, se ob- dada como a  ). tiene: 1 35 u log (x) – log (x) + log (x) + 2log (x) = , 2 2 2 2 3 3 y luego de simplificar, resulta: 7 35 5 log (x) = ⇔ log (x) = 5 ⇔ x = 2 = 32. 2 2 3 3 La solución de la ecuación propuesta es x = 32  ]0, ∞[. Verifica. 3. Halla, si existe x  , la solución de la ecuación: x–1 log (9 + 7) = 2 + log (3 + 1). x–1 2 2 2 x–1 Tenemos 9 = (3 ) = 3 2(x–1) , log (4) = 2. Luego, x–1 2 M.5.1.77. Aplicar las propiedades de los exponentes y los logaritmos para resolver ecuaciones e inecuaciones con funciones exponenciales y logarítmicas, con ayuda de las TIC. 122 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 122 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 122 21/1/25 16:41]]> 0 ⇔ x > –2. 2 y = log (2x–3) 2 1 De manera similar, log (2x – 3) está bien definido, si y solo si, –2 –1 –1 0 1 2 3 3,5 4 5 5,5 6 7 8 x 2 3 –2 2x – 3 > 0 ⇔ x > . De estos dos resultados, 2 –3 log (x + 2) – log (2x – 3) está bien definido, si y solo si, 2 2 asíntota asíntota 3 3 3 x > –2 y x > , de donde x > . Observa la Figura 4.9. x = –2 x = 2 2 2 p Figura 4.9. Si la ecuación tiene solución x, esta debe satisfacer 3 la condición x > . Resolvamos la ecuación. Tenemos 2 x + 2 x + 2 log (x + 2) – log (2x – 3) = 2 ⇔ log = 2 ⇔ = 2 2 2 2 2 2x – 3 2x – 3 ⇔ x + 2 = 8x – 12 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2. 3 Así, la solución es x = 2. Nota que esta satisface la condición x > . 2 123 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 123 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 123 21/1/25 16:41]]> 0, y x > –10, y 5 2x – 5 > 0 ⇔ x > . • Aplica las propiedades de 2 los logaritmos hasta obtener 1 un solo logaritmo en ambos Por lo tanto, ln(x + 10) – ln(2x – 5) está bien definido, si y solo 2 miembros de la ecuación. 5 5 5 si, x > . Así, ӏ = , ∞ . Para x  , ∞ , tenemos: • Resuelve la ecuación que 2 2 2 x + 10 1 queda y verifica la validez de ln(x + 10) – ln(2x – 5) = ln . las soluciones obtenidas. 2 2x – 5 La ecuación propuesta se escribe en forma equivalente, como: 1 x + 10 ln = – ln(α) = ln , 2x – 5 α y por la inyectividad de la función Ln, se obtiene: x + 10 1 = ⇔ α(x + 10) = 2x – 5 . 2x – 5 α Interdisciplinariedad Elevando al cuadrado ambos miembros en la última igualdad, Matemática y Estudios tenemos: 1 Sociales α (x + 10) = 2x – 5, x + 20x + 100 = (2x – 5), 2 2 2 α 2 5 2 Las ecuaciones logarítmicas son x + 20x – x + 100 + = 0. 2 2 2 ampliamente utilizadas para α α resolver problemas de creci- miento poblacional, que son Determinemos las raíces de esta ecuación en términos de α. Para modelados mediante ecuacio- el efecto, aplicamos la conocida fórmula de obtención de las raí- nes exponenciales. ces de una ecuación de segundo grado. Tenemos: 2 2 2 5 – 20 – ± 20 – – 4 100 + 2 2 2 x = α α α 2 Shutterstock, 598826399 = – 20 + ± 400 – + – 400 – 20 2 4 80 2 2 4 2 α α α α 2 Indaga y responde con tus 2 4 100 2 2 palabras: ¿qué es un logaritmo? – 20 + ± – 2 – 20 + ± 4 – 100α 2 4 2 4 α α α α α Escribe otras aplicaciones. = = . 2 2 124 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 124 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 124]]> , α ≤ ⇒ α ≤ . Para α > la ecuación no 5 100 10 10 Interdisciplinariedad 2 tiene solución. Consideramos el caso α = , 10 Matemática y Música 2 ¿Qué tiene que ver la matemáti- – 200 + 2 2 – 20 + 200 ca con la música? 10 4 x = = = 15  ӏ. Pues en realidad, mucho. 2 2 El uso de logaritmos en la músi- ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 2 Conclusión: la ecuación tiene solución si y solo si α = y x = 15. ca permite hallar las vibraciones 10 de las tonalidades musicales, pero para hallar estas vibracio- 6. Consideremos la ecuación log (x) = log ( x ), x > 0. 2 2 nes, siempre tiene que estar el logaritmo en base dos. Para estudiar la existencia de soluciones, y, en caso de existir, para hallar la o las soluciones, definimos dos funciones asociadas a esta ecuación: u(x) = log (x) , x > 0, 2 v(x) = log (x) , x > 0. 2 Shutterstock, 80486173 Primeramente, el dominio de la función Log es el conjunto ]0, ∞[, 2 1 p Altavoces y sonido. con lo que log ( x ) = log (x) está bien definido si x > 0. 2 2 2 Luego, u(x) está bien definido si y solo si log (x) ≥ 0. 2 Como log (x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 1, se sigue que Dom(u) = [1, ∞[, y siendo 2 Dom(v) = ]0, ∞[, resulta que la ecuación está propuesta en el conjunto Dom(u)  Dom(v) = ]0, ∞[  ]1, ∞[ = ]1, ∞[. Competencia digital Nota que x = 1 es una solución, pues: Para calcular cualquier logaritmo o resolver una ecua- u(1) = log (1) = 0 = log ( 1 ) = v(1). 2 2 ción logarítmica, puedes utilizar las calculadoras científicas o Pasemos a resolver esta ecuación. Elevando al cuadrado ambos ciertos softwares. En el siguiente miembros, obtenemos: enlace puedes acceder a una calculadora para ecuaciones 1 1 log (x) = log (x) ⇔ log (x) – log (x) = 0, x ≥ 1. logarítmicas: lynk.ec/13m10 2 2 2 4 2 2 4 2 1 Sea y = log (x). La última ecuación se expresa como y – y = 0. 2 2 Tenemos: 4 1 1 y = 0, o y – y = 0 ⇔ y 1 – y = 0 ⇔ . 2 1 4 4 1 – y = 0 4 Como y = log (x), y = 0 = log (x) ⇔ x = 1 que ya fue obtenida. A 2 2 continuación, y = 4 = log (x) ⇔ x = 2 = 16. Se verifica inmediata- 4 2 mente u(16) = v(16) = 2. Se tienen dos soluciones x = 1 y x = 16. 125 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 125 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 125 21/1/25 16:41]]> 0 y a ≠ 1, x > 0. Se define 2 1 z = log (x), y, y = log (x). Prueben que a a z = –y. g) log(22 – x) = –1 + log(x) x = 20 Se prueba z = –y 2 h) 2ln(x) + ln(x + 2) = ln(3) x = 1 9 Sea a > 0 con a ≠ 1. Resuelvan la ecua- ción 2 i) 3log(x) = 2log(x) + log(3) x = 3 10 loga(x – 3x + 5) = 10 loga(10) . x = 4,19; x = –1,19 2 j) log(x ) – log(3) = log(x) + log(5) x = 15 10 Indaguen y respondan. ¿Existen otras propiedades para las fun- k) 2ln(x) – ln(5) = ln(2) x = √10 ciones exponencial y logarítmica? Citen un ejemplo de cada propiedad. x Respuesta personal. l) 2log(x) = 4 + log x = 1 000 10 11 Resuelvan la ecuación planteada; verifi- quen el resultado obtenido. m) 3log(6 – x) – log(72 – x3) = 0 x = 2, x = 4 2 1 2x – 1 1 a) 4 = . x = 3,2 x – 5 n) log(√3x + 1) + log(5) = 1 + log(√2x – 3 ) x = 2,6 64 b) 2 8–3x – 2 7x–2 = 0. x = 1 o) log (100) – log (25) = 2 x = 2 3x–2 1–2x e – e x x c) = 1. x = 1,090 17 e 2x–1 1 3 3 p) log√ x – log√ 4 = x = 40 2 3 d) log (x – 2) – log (x ) = –log (3x). x = 3 3 3 3 q) log(x) = 1 + log(22 – x) x = 20 e) ln(x + 2) – ln(x + 1) = ln(2 – x). x = 0; x = ½ 2 127 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 127 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 127 21/1/25 16:41]]> 1, la desigualdad a ≥ 1 se verifica para todo x  [0, ∞[ y la x Desequilibrio cognitivo desigualdad a < 1 se verifica para todo x  ]–∞, 0[. Escribimos: x x ¿Cuáles son las propie- S = {x   | a ≥ 1} = [0, ∞[, 1 dades de las inecuaciones? y lo denominamos conjunto solución de la inecuación a ≥ 1. Ponemos: x S = {x   | a < 1} = ]–∞, 0[, x 2 x y se llama conjunto solución de la inecuación a < 1. Para 0 < a < 1, la desigualdad a ≥ 1 se verifica para todo x  ]–∞, 0[. x x Recuerda que… Ponemos S = {x   | a ≥ 1} = ]–∞, 0] y es el conjunto solución de la inecuación a ≥ 1. x Sea a > 0 con a ≠ 1. Se ha visto que la función exponencial Ejemplos resueltos Exp para 0 < a < 1 es estricta- 5x–1 –3x+15 a 1. Resuelve la inecuación 2 > 2 . mente decreciente, esto es, Tomando en consideración que la función Exp es estrictamente x , x  , x < x ⇒ creciente, a 1 2 2 1 exp (x ) > exp (x ), x x a 1 a 2 2 1 > 2 2 ⇔ x > x , x , x  . 1 2 1 2 mientras que para a > 1, esta función es estrictamente cre- Como las bases son iguales, entonces: 5x – 1 > –3x + 15. Resolve- ciente: mos la inecuación: 5x – 1 > –3x + 15 ⇔ 8x > 16 ⇔ x > 2. x , x  , x < x ⇒ 1 1 2 2 exp (x ) < exp (x ). a 1 a 2 Luego, el conjunto solución se expresa como: Estos dos resultados nos per- S = {x   | 2 5x–1 > 2 –3x+15 } = ]2, ∞[. miten resolver inecuaciones en 5 las que intervienen funciones 2. Sea la inecuación 3 – × 3 + 1 > 0. ¿Cuál es el conjunto x 2x exponenciales de la misma solución? 2 base a. 5 x 2 2x Tenemos 3 = (3 ) . Luego, 3 – × 3 + 1 > 0 ⇔ 2x x De manera general, si 2 x 2 x c ≤ 0, el conjunto solución de la 2(3 ) – 5 × 3 + 2 > 0. inecuación es: x Ponemos v = 3 . La última desigualdad se transforma en la siguiente: S = {x   | a ≤ c} = Ø. x 2v – 5v + 2 > 0. 2 Si c > 0, x S' = {x   | a ≤ c} = ]–∞, log (c)[. Sea P la función polinomial definida como P(v) = 2v – 5v + 2 2 a Si c ≤ 0, v  . Determinemos las raíces de la ecuación P(v) = 0. Tenemos: 5 x S = {x   | a ≤ c} = Ø, 2v – 5v + 2 > 0 ⇔ v – v + 1 = 0 2 2 1 S = {x   | a > c} = . 2 x 2 25 5 ± – 4 5 ± 3 4 2 2 2 v = = . 2 2 1 Las raíces de P(v) = 0 son v = y v = 2. El polinomio P(v) se 2 2 1 escribe como: 5 1 2 P(v) = 2v – 5v + 2 = 2 v – v + 1 = 2 v – (v – 2), v  . 2 2 2 M.5.1.77. Aplicar las propiedades de los exponentes y los logaritmos para resolver ecuaciones e inecuaciones con funciones exponenciales y logarítmicas, con ayuda de las 128 TIC. 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 128 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 128 21/1/25 16:41]]> 0. Tenemos: 1 Recuerda que… 1 v – > 0 ∧ v – 2 > 0, o 2 2v – 5v + 2 > 0 ⇔ 2 v – (v – 2) > 0 ⇔ 2 2 1 • Las inecuaciones expo- v – < 0 ∧ v – 2 < 0. 2 nenciales en una incógnita 1 1 tienen la forma: Construimos la tabla de signos de v – , v – 2 y de 2 v – (v – 2). g(x) f(x) 2 2 a > a , 1 a < a , g(x) f(x) –∞ 2 ∞ 2 1 donde f(x) y g(x) son expre- v – – + + siones en x e y, a   , a ≠ 1. + 2 1 v – 2 – – + • Una inecuación logarítmica ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 2 es una desigualdad en la que 1 2 v – (v – 2) + – + la variable aparece en el ar- 2 gumento del logaritmo. Para su resolución es necesario 1 De la tabla obtenemos: 2v – 5v + 2 > 0 ⇔ v < ∨ v > 2. considerar las características 2 2 de la base, la definición y las 1 propiedades de la monoto- 3 < , o x x Como v = 3 , resultan dos inecuaciones: 2 nía del logaritmo. x 3 > 2. • Propiedades de la monoto- 1 1 ln(2) nía del logaritmo: x 3 < ⇔ xln(3) < ln = –ln(2) ⇔ x < – ⇔ 2 2 ln(3) a) si a > 1, b > c ln(2) ⇒ log b > log c. x  –∞, – , a a ln(3) b) si 0 < a > 1, b > c ln(2) ln(2) ⇒ log b > log c. 3 > 2 ⇔ xln(3) > ln(2) ⇔ x > ⇔ x  , ∞ . a a x ln(3) ln(3) Así, el conjunto solución de la inecuación propuesta es: 5 ln(2) ln(2) x 2x S = x   | 3 – × 3 + 1 > 0 = –∞, –  , ∞ . 2 ln(3) ln(3) a b Glosario c monotonía: falta de va- 3. Halla el conjunto solución en  de la inecuación 2 5x–1 > 3. riedad en cualquier cosa. La función logaritmo natural Ln es estrictamente creciente. Es de- cir que si x , x  ]0, ∞[ = Dom(Ln), x < x ⇒ ln(x ) < ln(x ). 1 2 1 2 1 2 Para hallar el conjunto solución de la inecuación aplicamos la fun- Competencia ción Ln. Tenemos: socioemocional ln(2 5x–1 ) > ln(3) (5x – 1) ln(2) > ln(3). ¿Qué crees que quiere decir que las mentiras tienen ln(3) patas cortas?, recuerda que las Como ln(2) > 0, entonces, 5x – 1 > , ln(2) mentiras no se pueden sostener por mucho tiempo; eventual- 1 ln(3) 1 ln(3) mente, la verdad siempre sale a de donde x > 1 + = + . 5 ln(2) 5 ln(32) la luz y, cuando lo hace, general- mente alguien sale lastimado. El conjunto solución S está definido como: Reflexiona sobre la respuesta 1 ln(3) S = {x   | 2 5x–1 > 3} = + , ∞ . a esta interrogante y emite tu 5 ln(32) opinión. 129 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 129 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 129 21/1/25 16:41]]> 5. 2 a) exp(2x – 1) > 1. x > 1/2 • Determina. El dominio de la función log b) exp(5 – 2x) ≥ e . x ≤ 9/4 2 es ]0, ∞[. Consecuentemente, |3 – 4x| > 0. Por la definición del valor absoluto, se tiene: c) exp(x) + exp(–x) < 2. x d  |3 – 4x| = 3 – 4x, si 3 – 4x > 0, d) exp(x + 5) < 20. x < In (20) –5 –(3 – 4x), si 3 – 4x < 0. • Resuelve las dos siguientes inecuaciones: 5 3 – 4x > 0 ∧ log (3 – 4x) > 5, (1) Halla el conjunto solución de cada una de las inecuaciones que se proponen a 2 3 – 4x < 0 ∧ log [–(3 – 4x)] > 5, (2) 2 continuación. • Comienza con (1). c.s = Ø a) ln(2x + 1) > 3. x < e 3 –1 2 • Verifica que el conjunto solución de (1) es b) ln(x + 3) < 2. –3 < x < e – 3 2 35 x . Ø. Resuelve (2). cs => 1 5 4 c) ln ≤ 5. – <≤ –3e + 1 2 x • Verifica que el conjunto solución de (2) es 2x + 3 3 2e 5 35 ⎡ 35 x > . ⎢ , [ ∞ 4 ⎣ 4 6 • Busca la intersección de las soluciones. Halla el conjunto solución que satisfaga las inecuaciones planteadas; verifica con • Verifica que el conjunto solución de la al menos dos valores del conjunto. inecuación es: 35 a) ln(e 4x–3 ) < ln(3). x < In 3 ()+ 3 S = {x   | log |3 – 4x| > 5} = , ∞ . 4 2 4 1 b) ln(3x – 1) + ln(2x + 1) > 0. x > 2 2 Sigue el proceso y halla el conjunto 7 solución en  de la inecuación Resuelve la inecuación. log (3x + 2) < –3. 10 a) 73x–1 > 49 x > 1 • Halla el dominio de log (3x + 2). 2 10 b) 80,3–x ≥ 1 Dominio x > – x ≤ 0,3 3 • Verifica que el conjunto solución S es el conjunto Solución – ,– 1999 8 2 3 3 000 Halla el conjunto solución de: 2 1 S = – , (–2 + 10 ) . ⎛ ⎞ 1 4 x +3 1 –3 3 3 ⎜ ⎟ < x > – 1 ⎝ ⎠ 2 2 2 3 Considera la inecuación exp(2 – 3x) < e . 9 2 La función Exp está definida en todo , Determina la solución de las siguientes esto es, Dom(Exp) = . ¿Cuál es la solu- inecuaciones exponenciales. ción de la inecuación? x > 0 x a) 2 > √2 x > 1 b) (0,02) ≤ 0,04 x ≥ 2 x 2 130 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 130 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 130 21/1/25 16:41]]> 21 x e > 21 x 2< e + 1 < 5 2x e > 21 x 2x 2< e + 1 < 5 e > 21 x 10x - 2 2< e + 1 < 5 e< e 2x < 6 x > In(21) e > 21 < 6 10x - 2 x 2< e + 1 < 5 e< e2x e< e 2 > 13 < 6 In(2) - 1 < x < In(5) - 1 x 10x - 2 2< e 2 > 13 + 1 < 5 x > In(21) 2 2 x 2x e< e < 6 10x - 2 2 + 2 > 2 In(2) - 1 3 In(5) - 1 x 2x x 2 > 13 x In(6) + 2 2 + 2 > 2 x e< e 2x 10x - 2 < x < 2 > 13 < 6 2 < x < 2 10 10 x > In(21) 2 + 2 x+1 > 2 x 2x 2 In(6) + 2 2 > 13 > 2 2x - 5 3 < x < x > log (13) In(5) - 1 x x 2 + 2 3x √ 2 > 2 x+1 2x In(2) - 1 2 c) (27) < 9 x+3 x < 9 2 3x √ > 2 2x - 5 x > In(21) 10 10 2 < x < 2 x–1 15 2 + 2 x+1 > 2 2x - 5In(2) - 1 x > 0 2 2 2x x Determina la solución de las inecua- x > log (13) x > In(21) 3x √ 2 2 33 2 3x √ x+1 > 2 2x - 5 2 < x < In(5) - 1 x < 11 3 < x < In(6) + 2 2 > 2 x2– d) (√2 ) 8x–1 > 4 4 –2 < x < 4 ciones logarítmicas: 6 10 10 3x √ x > 0 2x+1 > 2 2x - 5 3 In(6) + 2 11 In(2) - 1 < x < In(5) - 1 2 2 2 < x < x > log (13) 2 x < 10 10 a) log (3x - 5) < 2log (x - 5) x > 10 2 6 3 2 10 Resuelve la inecuación logarítmica. log (3x - 5) < 2log (x - 5) x > 4 10 < x < In(6) + 2 2 x > 0 x > log (13) 10 2 2 2 log 2 (3x - 5) < 2log (x - 5) x < 11 x > 10 6 x > 0 x > log (13) 2 ⎛ x +15 ⎞ log (x - 12) > log (x) no tiene solución 2 2 (3x - 5) < 2log (x - 5) log 2 log x ⎜ ⎝ x − ⎠ ⎟ >1 b) log (x - 12) > log (x) x > 4 5 < x ≤ 11 11 2 2 x < 1 6 x > 0 8 log (x - 12) > log (x) (x - 5) 2 x > 10 1 < x < 5 log (3x - 5) < 2log 2 no tiene s 5olución 11 8 log (x + 1) - log (x + 5) < 2 4 4 2 4 log (x + 1) - log (x + 5) < log (x - 12) > log (x) 5 < x ≤ 5 x > x < o -1< x < 0 2 11 5 x > 46 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 4 4 c) log (x 2 x > 10 8 2 5 8 log (8x - 5) - 12) > log (x) 11 Encuentra el conjunto solución de la 2 log (8x - 5) ≤ 6 x > 4 4 x > 5 no tiene solución log (x + 1) - log (x + 5) < 4 2 4 2 o -1< x < 0 log 2 ≤ 6 2 (x + 1) - log (x + 5) < 5 11 5 x > 10 4 4 5 no tiene solución inecuación logarítmica. 2 log (x + 1) - log (x + 5) < 2 8 < x ≤ 8 log (8x - 5) ≤ 6 2 log(5x - 3x + 1) > log(x + 1) x > 4 2 4 11 5 4 4 2 2 ≤ 6 log (8x - 5) log 1 (2x + 5) < –2 x > 2 d) log(5x - 3x + 1) > log(x + 1) 2 no tiene solución x > o -1< x < 0 < x ≤ 2 5 8 8 2 3 log(5x - 3x + 1) > log(x + 1) 2 ≤ 6 2 log (8x - 5) x > 4 o -1< x < 0 5 < x ≤ 11 2 5 log(5x - 3x + 1) > log(x + 1) 8 8 2 e) log(5x - 3x + 1) > log(x + 1) x > 4 o -1< x < 0 12 Encuentra la solución de la inecuación 5 log2(x + 3) < log2(5 – x) x < 1 Trabajo colaborativo Diversidad funcional 13 Resuelve las siguientes inecuaciones en el aula con logaritmos. Si en el grupo de trabajo existe un compañero log₃(2x – 5) > 2 x > 7 con dificultades visuales, debemos permitirle su autonomía. No ayudarle si no lo necesita. Hacer- le notar sus posibilidades reales. 14 Encuentra la solución de las siguientes inecuaciones: Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. x a) e > 21 16 x > In(21) Resuelvan las inecuaciones planteadas; x e > 21 2x 2< e + 1 < 5 verifiquen el resultado obtenido con al In(2) - 1 In(5) - 1 2x < x < x x > In(21) e > 21 b) 2< e + 1 < 5 menos 2 valores del conjunto solución. 10x - 2 e< e < 6 2 2 x > In(21) In(5) - 1 x In(2) - 1 3 e > 21 In(6) + 2 x e< e + 1 < 5 2x 10x - 2 < x < 2< e < x < 2 > 13 < 6 2 a) log (x + 5) < log (x + 3). No tiene solución. 2 2 2 x > In(21) 10 In(2) - 1 10In(5) - 1 < x < e > 21 x 2 x x 2< e + 1 < 5 2x c) 2 > 13 < 6 2 b) log (3x + 7) ≥ log (4 – 5x) – 1. − 31 ≤ x < 4 10x - 2 2x In(6) + 2 3 e< e (13) x > log In(2) - 1 2 + 2 > 2 In(5) - 1 < x < x > In(21) < x < 5 5 20 5 2 10 10 x 3 2 e > 21 In(6) + 22 x x e< e + 1 < 5 2< e 2x 2x < 6 5x+1 3x+2 10x - 2 < x < 2 + 2 > 2 x > 0 2 > 13 10 x+1 (13) 10 x > log 1 In(2) - In(5) - 1 3 2 In(6) + 2 > 2 4 2 x x 2< e + 1 < 5 2x x < 2 2 11 < x < 2x - 5 2 x > In(21) c) 5 > 25 ∙ 125. x > 13 < x < 3x 2x < 6 10x - 2 2 > 13 e 10 x > log (13) 10 2x+1> 2 2 + 2 x > 0 d) √ < e 6 2 In(2) - 1 In(5) - 1 2 2 2x - 5 > 2 3 11 10x - 2 In(6) + 2 2 < x < 2 1 (0,027) 3x+2 2x < 6 x > log (13) x x e x < < x < x > 0 x–1 2 > 13 d) (0,09) x –5x+4 < . x < 1 2 3x √ < e 2 2 > 2 10 10 2 + 2 6 x > 10 2 11 x+1 > 2 2x - 5 3 In(6) + 2 (0,002 43) 3x+2 2 x < x x > 0 x 2 3x √ > 13 6 x > log 2x (13) e) 2 + 2 > 2 10 < x < 10 2 x > 4 11 2x+1 x < x > 10 2 > 2 2x - 5 5x – 1 1 3 6 x x no tiene solución 3x √ + 2 > 2 x > 0 2x 2 log (3x - 5) < 2log (x - 5) e) log ≤ 0. 5 <≤ 2 x > log (13) 3x + 2 2 2 x > 10 2 2 x > 4 11 2 x+1 5 x < < x ≤ 11 > 2 2x - 5 6 3x √ x > 0 x > 4 8 no t 8 3x √iene solución f) log (3x - 5) < 2log (x - 5) f) 5 3x–1 > 25. x > 1 2 2 x > 10 22 x+1 2 log (x - 12) > log (x) 11 > 2 4 2x - 5 x < 11 x > 5 no tiene solución o -1< x < 0 x > 4 2 5 < x ≤ 6 log (3x - 5) < 2log (x - 5) 8 8 x > 10 2 11 5 log (x - 12) > log (x) 5 g) 7 0,3x–x ≥ 1. x ≤ 0 2 2 no tiene solución < x ≤ 4 8 8 x > log (3x - 5) < 2log (x - 5) log (x + 1) - log (x + 5) < o -1< x < 0 x > 4 5 5 11 4 2 4 2 x > 10 4 log (x - 12) > log (x) 2 131 2 < x ≤ 5 x > 8 no tiene solución o -1< x < 0 8 5 log (x + 1) - log (x + 5) < log 4 (3x - 5) < 2log (x - 5) x > 4 2 2 4 4 log (8x - 5) 11 5 ≤ 6 2 log (x - 12) > log (x) 2 2 2 o -1< x < 0 x > < x ≤ no tiene solució 5 8 log (3x - 5) < 2log (x - 5) 5n 8 log (x + 1) - log (x + 5) < 4 2 2 4 2 2 2 ≤ 6 log (8x - 5) 4 5 2 log(5x - 3x + 1) > log(x + 1) 5 x > log (x - 12) > log (x) < x ≤ 11 2 o -1< x < 0 5 log (x + 1) - log (x + 5) < 8 8 2 4 2 log (8x - 5) 2 log (x - 12) > log (x) 4 log(5x - 3x + 1) > log(x + 1) 2 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 131 2 ≤ 6 4 x > o -1< x < 0 21/1/25 16:41 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 131 5 5 log (x + 1) - log (x + 5) < 2 log (8x - 5) 4 2 2 ≤ 6 2 4 log(5x - 3x + 1) > log(x + 1) 5 log (x + 1) - log (x + 5) < 4 2 ≤ 6 2 log (8x - 5) 4 2 log(5x - 3x + 1) > log(x + 1) 2 2 log (8x - 5) ≤ 6 2 2 log(5x - 3x + 1) > log(x + 1) log(5x - 3x + 1) > log(x + 1) 2]]> x se demuestra que f(x ) > f(x ) 2 las constantes a, b, c y, por lo tanto, A(t). ;b = 250 280 c = ; a = 5 1 2 1 d) Calcula t, tal que S(t) = 1. 800 c = 4 ;b = 250 ; a = 280 4 t – ^ h 5 At = 280250 a k 5 4 t e) Determina el intervalo en el que S(t) ≥ 500. b) Muestra que a las 10 semanas de prácticas, At = – ^ h 280250 a k 5 [1, 2] Paúl puede atender trabajos de 253 perso- f) Si fueras el gerente de producción de esta empresa y conoces que la demanda de nas por semana, algo más de 6 personas por hora. este producto se va a incrementar de ma- A(10) = 253 nera significativa, ¿qué decisión tomarías: c) Traza la gráfica de la función A y de la asín- adquirir un producto similar o comprar tota H = {(280, t) | t ≥ 1}. más materias primas para hacer frente a esta emergencia? Justifica y sugiere otras d) Determina t  [1, ∞[, tal que A(t) = 6. � � alternativas. Para td6 , 1 3Q ; 6 e) Determina S = {t  [1, ∞[ | A(t) ≥ 6}. () 6 Q 2 La función de ventas semanales de cace- Para At ≥ ; rolas está definida como: 4 Ronald Yates pagó $22 000 por un jeep nuevo. 2 t S(t) = 150 + 200 , t ≥ 0. Suponiendo que el valor del jeep se deprecia 5 a una tasa del 20 % al año, en un año el valor del jeep será el 80 % de su valor actual. La fór- a) Representa gráficamente esta función. mula para determinar el valor del jeep en un momento dado es: b) ¿A partir de qué semana se tiene v(t) = $22 000(0,80)t 2 t 2 000 < 1? O sea, ¿a partir de qué Donde t es el tiempo en años. Determina el 5 semana ya no se venden las 150 cacerolas? valor del jeep dentro de: La función converge a 150, por lo tanto, la venta a partir del primer año es 150 cacerolas. a) 1 año v(1) = 17 600 b) 5 años v(5) = 7 208,96 134 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 134 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 134]]> 1. Luego, realiza los desplazamien- x tos horizontales y verticales. f(x) = a (x + b) , f(x) = a + b. x Sea la función f(x) = 5 , analiza su gráfica. x 1. En la barra de Entrada, ingresa la función f(x) = 5 . x ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 2. La gráfica de la función f(x) = 5 es creciente, porque x a > 1. 3. La función tiene asíntota horizontal en y = 0. Geogebra Traza las gráficas de f(x) = 5 + 2 y de f(x) = 5 (x + 2) . Analiza qué sucede x en cada caso. Geogebra Geogebra x 4. La función f(x) = 5 + 2 se desplazó dos unidades 5. La función f(x) = 5 (x + 2) se desplazó dos unidades a hacia arriba, al igual que su asíntota, y = 2. La fun- la izquierda, y la asíntota se mantiene en y = 0. La ción sigue siendo creciente. función sigue siendo creciente. Practica las gráficas de funciones exponenciales con los ejercicios de la página 114 de este texto Incluimos en esta sección uno o varios URL de sitios web que, en su momento, estaban en pleno funcionamiento; sin embargo, estos podrían haberse eliminado o cambiado por decisión de los creadores de esos portales. Si tienes algún problema, reporta a: coordinacion@mayaeducacion.com 137 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 137 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 137 21/1/25 16:41]]> 0. x x ( 1 2 3 2 In(√x (x ( 2 , x > 1. 2x + 5)), x > 0. In 2x a) Establece su dominio y recorrido. b) ln 2 + ln x – ln(x – 1). In ( ( x - 1 2 , x > 1. ( 0. , x > 1. In(√x (x + 5)), x > √x In x - 1 ( 2 1 1 In In ( 2x , x > 1. , x > 1. √x 2 (x - 1 (x - 1) √x 2 3 b) Determina las ecuaciones de las asíntotas c) ln x – 2ln(x – 1) – ln(x + 1). + 1 2 2 3 2 3 ( (x - 1) √x + 1 ( √x a las gráficas de las funciones. In ( (x - 1) √x + 1 , x > 1. 2 3 2 ( c) Traza en el mismo plano cartesiano las 5 Usa una calculadora para completar la gráficas de las funciones. tabla. Anota cada valor con aproxima- ción hasta diezmilésimas (cuatro cifras). 2 Analiza las siguientes funciones: g(x) = log x; h(x) = log (x + 2). n 2 10 100 500 1 000 5 000 3 3 1 n 1 + 2,25 2,593 7 2,704 8 2,715 6 2,716 9 2,718 0 a) Encuentra el dominio de h y escribe la n ecuación de la asíntota vertical. b) Describe cómo se puede obtener la gráfica de h a partir de la gráfica de g. 6 Resuelve el siguiente problema. Una sustancia radiactiva se desintegra (y c) Traza en un mismo plano cartesiano las se convierte en otro elemento químico) dos funciones. Dom(h) = ]–2, ∞[, }. de acuerdo con la fórmula y = Ae –0,2x , asíntota V = {(–2, y) | y Traslación de la gráfica de g a la izquierda x > –2. donde y es la cantidad remanente des- 3 Asocia cada gráfico con la función que pués de x años. le corresponde. a) Si tenemos la cantidad inicial A = 80 gramos, a) y ¿qué cantidad quedará después de 3 años? y = 43,904 93 g. y = Log (x + 1) + 2. b) La vida media de una sustancia radiactiva es x y = log(x – 2) + 1, x > 2. el tiempo que tarda en descomponerse la mi- tad de dicha sustancia. Encuentra la vida me- dia de esta sustancia, en la que A = 80 gramos. b) y x ≈ 3,465 7 años y = Log (x + 2) – 1. x 7 y = log(x – 2) – 1, x > –2. Escribe verdadero (V) o falso (F). Justifica tu respuesta. c) y a) log(2) + log(3) = log(5). F y = Log (x – 2) + 1. x y = log(x + 1) + 2, x > –1. b) log(2) + log(3) = log(6). V c) log(15) – log(5) = log(3). V d) 2log(4) = log(2 ). F 4 142 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 142 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 142]]> 0 es: 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x a)  \ {–3}. c)  \ {3}. b)  \ {0}. d)  \ {–3, 3}. c) 1 x a) f(x) = 2 . x c) f(x) = . 3 1 x b) f(x) = . d) f(x) = (3) . x 13 2 La solución para 3 x – 5 = 81 es: 2 b) 9 La solución de la ecuación a) x = ±3. c) x = 3. log (x – 6) + log (x + 6) = 2 es: b) x = –3. d) x = 8. a) 8 8 a) 10. b) –10. c) ±10. d) 10 . c) Expreso mis emociones 2 14 Expresa lo que sientes sobre esta frase: 10 El dominio de la función y = ln (x – 2) es: “Dime y lo olvido, enséñame y lo recuer- do, involúcrame y lo aprendo”. Benjamin Franklin. a) . c) [2, ∞]. b)  – {2}. d) ]2, ∞[. d) Autoevaluación Siempre A veces Nunca Obtengo la gráfica de funciones exponenciales. Analizo las gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas. Aplico propiedades de los logaritmos para resolver problemas. Determino el dominio de funciones exponenciales y logarítmicas Coevaluación Siempre A veces Nunca Participamos activamente en los trabajos grupales. Utilizamos la tecnología para graficar funciones exponenciales y logarítmicas. Metacognición a) ¿De qué manera el uso de las TIC te ayudó con los temas de esta unidad? b) ¿En qué se aplica el estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas? 143 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 143 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 143 21/1/25 16:41]]> 0, y x, y  R denotan las incógnitas. números negativos se empeza- ron a usar en la India, en el siglo Nos interesamos ahora en la búsqueda de soluciones enteras positivas, VII, para indicar las deudas. cuando a, b  Z es decir, en hallar m, n  Z , tales que am + bn = c. + Ejercicio resuelto 2 Recuerda que… 1) Considerar la ecuación (x, y)  R , tal que 2x + 3y = 10. Determinar todas las soluciones enteras de esta ecuación, esto es, hallar (m, n)  Z , tal que 2m + 3n = 10. 2 • Se dice que dos números en- teros a y b son primos entre Supongamos m, n  Z, tales que 2m + 3n = 10. Entonces, sí, si mcd(a, b) = 1. 3n = 10 – 2m. De esta igualdad se deduce que 2(5 – m) debe ser • Sean a, b, x  Z no nulos. múltiplo de 3. Esto es posible si 5 – m es múltiplo de 3, o sea, Entonces, 5 – m = 3j para algún j  Z. Es decir, m = 5 – 3j y, en consecuen- mcd(xa, xb) = x ∙ mcd(a, b). cia, 3n = 2(5 – m) = 6j, de donde n = 2j. Tenemos así, • El múltiplo común de a y b se define como p  Z , m = 5 – 3j, j  Z. + tal que a|p y b|p. El mínimo n = 2j, común múltiplo de a y b, que se denota mcm(a, b), se Veamos algunas soluciones enteras: define como el más pequeño + número entero p  Z , tal j –1 –2 0 1 2 que a|p y b|p. m 8 11 5 2 –1 n –2 –4 0 2 4 Las soluciones enteras están representadas en el conjunto solución: S = {(5 – 3j, 2j) | j  Z}. M.5.2.24. Aplicar la divisibilidad de números enteros, el cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo de un conjunto de números enteros, y la resolución de ecuaciones lineales con dos incógnitas (con soluciones enteras no negativas) en la solución de problemas. 146 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 146 21/1/25 16:41 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 146]]>2y 4x + 5y ≤ 25, d) c) 3x+3y ≤120 d) 3x+3y ≤120 4x – 8y ≤ 8, ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ 4x – 2y ≥ –4. ⎨ 3x+6y ≤180 ⎨ 3x+6y ≤180 ⎪ ⎪ ⎩ y >2x ⎩ x >2y Respuesta d) 153 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 153 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 153 21/1/25 16:42]]> 0. Competencia socioemocional 2 Definimos D = {(x, y)  R | 200x + 70y = C}. La gratitud es uno de los 20 sentimientos más nobles, nos La pendiente de la recta D es m = – . Sea (x , y )  S. D 7 0 0 ayuda a valorar lo que somos y lo que tenemos. Piensa en tres La ecuación cartesiana de la recta L que pasa por (x , y ) y tiene: 0 0 cosas de las que puedas dar 20 20 gracias, repite este ejercicio cada pendiente m = – está definida como y – y = – (x – x ) D 7 0 7 0 día de la semana y verás que y de esta obtenemos 20x + 7y = 20x + 7y , y multiplicando por eres una persona privilegiada. 0 0 10 para obtener la función objetivo, resulta Debate con tus compañeros acerca de la gratitud. 200x + 70y = 200x + 70y . 0 0 y Ponemos = 200x + 70y ≥ 0. Así, para (x, y)  S se tiene: C 0 0 0 40 200x + 70y = C . 0 27,5 B 30 20 Para cada punto (x , y )  S obtenemos una recta de ecuación 10 E S 0 0 cartesiana A –10 0 10 15 20 30 40 50 x 200x + 70y = 200x + 70y = C ≥ 0. 0 0 0 Particularmente para (x, y)  S que yacen en la recta, se tiene p Figura 5.10. 200x + 70y = C ≥ 0. 0 En la Figura 5.10., se han trazado rectas paralelas que pasan por cada uno de los vértices. Nota que el valor máximo se obtiene en el vértice A, el más alejado de todos. 155 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 155 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 155 21/1/25 16:42]]> 0, la recta R tiene una incli- nación a la derecha; cuando b < 0, la recta R tiene una incli- Construimos una función que tiene la forma de un polinomio de nación a la izquierda. Asociada grado ≤1 cuya gráfica se identifica con la de una recta. Con mayor a este conjunto, existe una precisión, se considera el problema siguiente: halla un polinomio p de función polinomial p de grado grado ≤1 de la forma: ≤1 de la forma: y = p(x) = a + bx, ∀x  R, y = p(x) = a + bx, ∀x  R, donde a, b  R son calculados con el denominado método de míni- de modo que su grafo G(p) = R. mos cuadrados, cuyo algoritmo se describe a continuación. Supongamos que se dispone de la siguiente información: Algoritmo � S = {(x, y)  R | i = 1, …, n}. Para calcular las constantes óptimas a �, b mediante el método de mí- 2 i i nimos cuadrados, se requiere la siguiente información: En la Figura 5.15. se ilustra un conjunto de puntos que siguen una tendencia o apariencia de 1. El número de puntos n ≥ 2. 2 una recta, así como la gráfica de 2. El conjunto de datos S = {(x, y)  R | i = 1, …, n}. i i la recta de ecuación cartesiana: y = a + bx, ∀x  R. Aplicación del método de mínimos cuadrados 1. Calcula las siguientes sumas: y y = a + bx n n n n ∑ ∑ ∑ ∑ S = x , S = x , R = y , R = x y . 2 1 i 2 i 1 i 2 i i i=1 i=1 i=1 i=1 2. Verifica z = nS – S ≠ 0. 2 2 1 3. Calcula la constante óptima de regresión lineal a �: 0 x S R – S R 1 2 2 1 p Figura 5.15. a � = . nS – S 2 2 1 4. Calcula el coeficiente óptimo de regresión lineal b: � nR – S R b = . � 1 1 2 nS – S 2 2 1 162 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 162 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 162 21/1/25 16:42]]> 0. La covarianza es, de x n – 1 i=1 i n – 1 i=1 i n x modo intuitivo, una especie de medida promedio de la Definición. La covarianza muestral se denota con cov(x, y) y se de- dependencia lineal. En algunos fine como: libros, a la covarianza muestral n también se le suele designar ∑ (x – x)(y – y) i i i=1 n – 1 con S . cov(x, y) = . xy La covarianza puede ser positiva, cero o negativa. Tomando en cuenta las relaciones n n ∑ x n ∑ y n ∑ ∑ i i x = ⇒ x = nx, y = ⇒ y = ny, i=1 i=1 i i a b Glosario n i=1 n i=1 c se obtiene, covarianza: en probabi- n n ∑ – x)(y – y) lidad y estadística, la covarianza (x i i ∑ (x y – xy – yx + xy) i i i i i=1 i=1 es un valor que indica el grado cov(x, y) = = n – 1 n – 1 de variación conjunta de dos n n n n ∑ ∑ ∑ variables aleatorias respecto a ∑ x y – xy – yx + xy sus medias. = i=1 i i i=1 i i=1 i i=1 n – 1 n n 1 n n ∑ ∑ x y – nxy ∑ x y – x y ∑ n i i i i i i i=1 i=1 i=1 i=1 = = . n – 1 n – 1 M.5.3.22. Calcular la covarianza de dos variables aleatorias para determinar la dependencia lineal (directa, indirecta o no existente) entre dichas variables aleatorias. M.5.3.23. Determinar la recta de regresión lineal que pasa por el centro de gravedad de la distribución para predecir valores de la variable dependiente, utilizando la recta de 166 regresión lineal, o calcular otra recta de regresión intercambiando las variables para predecir la otra variable. 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 166 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 166]]> 0. el ámbito de la economía cuan- do se analiza la facturación de Calculamos el coeficiente de correlación r: una empresa en un período de tiempo, también en el análisis –128,025 de cómo influye la publicidad r = = = –0,996 2. en esta facturación. S xy s s x y 99,3 × 166,325 Este resultado nos muestra que las dos variables están fuertemente correlacionadas. Para una deformación x = 20 mm, se obtiene: kg Shutterstock, 261250367 y = 66,4226 6 – 1,289 3 × 20 = 40,636 6 . mm 2 169 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 169 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 169 21/1/25 16:42]]> 0, r = 1. b) Aplica el método de mínimos cuadrados x 0,5 1,0 2,1 2,6 3,0 no En tu cuader para calcular las constantes a �, b. Para el y = f(x): En tu cuaderno � efecto, calcula las sumas S , S , R , R , y con 1 2 1 2 � estas obtén a �, b. a = –2; b = 3 b) y = f(x) = –2,8 + 1,65x, ∀x > 0, r = 1. c) Verifica que la función F obtenida es x 1,5 3,0 4,1 4,6 5,0 5,2 F(x) = –2 + 3x, ∀x  R. f(x) = –2 + 3x En tu cuaderno y = f(x): En tu cuader no 2 d) Calcula la covarianza S , la dispersión s y xy x S xy prueba que = 3. 3 c) y = f(x) = 70,3 – 3,45x, ∀x > 0, r = 1. s 2 x x 2,5 6,0 10,4 16,0 20,6 28,0 En tu cuaderno 2 Los resultados que constan en la tabla y = f(x): En tu cuader no corresponden a consumos de energía eléctrica. Se busca una función de con- sumo eléctrico de la forma 4 En una muestra de 1 500 individuos se re- C(t) = p + ht, ∀t ≥ 0, siendo p la pérdida, cogen datos sobre dos medidas X e Y. Los h una constante, y siendo t  [0, 30] el resultados que se obtienen son: tiempo contado en días del mes. , x = ,y =14 s = 100 s = 1, s = 25, 45 Días t: 5 8 15 20 25 30 x y xy Consumos C (en 60,5 88,0 152,7 198,1 245 291 a) Obtén el modelo de regresión lineal que Kw/h): mejor aproxima Y en función de X. y = 11,25x – 57,50 b) Utilizando este modelo, calcula de la can- a) Aplica el método de mínimos cuadrados para calcular las constantes p �, h. tidad Y esperada cuando X = 15. y = 111,25 � cov(t, C) b) Calcula h = y p � = C – t , y 5 De una muestra de 8 observaciones con- S tC � s 2 s 2 juntas de valores de dos variables X e Y se t t compara con los resultados obtenidos en obtiene la siguiente información: el literal a. Son iguales. ∑ x = 24, ∑ x y = 64, ∑ y = 40, i i i i c) Compara los resultados con la función s = 12, s = 6 2 2 x y C(t) = 14,4 + 9,22t, ∀t ≥ 0. C(t) = 144,4 + 9,22t a) Obtén la recta de regresión de Y sobre X. y = –1,167x + 8,5 170 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 170 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 170]]> 0. a) Halla la covarianza. S = 624,1 Comparen su resultado con el dado por el xy otro estudio. b) Determina la ecuación de la recta de regresión lineal. r = 0,379x + 9,351 e) Calculen el coeficiente de correlación r. 171 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 171 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 171 21/1/25 16:42]]>,]. opción Básico, etiqueta Visible, escoge Nombre y Reemplaza por las letras correspondientes a las valor. Esta opción te permite visualizar cada una de restricciones que se intersecan. las restricciones con su correspondiente color. 7. Para apreciar solo la región factible, apaga cada 4. Con el mouse explora cada una de las regiones una de las restricciones; haz clic en el botón e identifica cuál de ellas interseca a todas las izquierdo de cada restricción. restricciones. Esta región toma el nombre de región factible (conjunto de soluciones que satisface a todo el conjunto de restricciones, y que puede ser acotado o no). • Practica con ejercicios de programación lineal. Incluimos en esta sección uno o varios URL de sitios web que, en su momento, estaban en pleno funcionamiento; sin embargo, estos podrían haberse eliminado o cambiado por decisión de los creadores de esos portales. Si tienes algún problema, reporta a: coordinacion@mayaeducacion.com 173 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 173 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 173 21/1/25 16:42]]> –2 es: a) 2x + 3y ≥ 22, c) 2x + 3y ≤ 22, 0 ≤ y < 1 x + y ≥ 10, x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0. x ≥ 0, y ≥ 0. a) y c) y ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 3x + 5y ≤ 35, 3x + 5y ≤ 35, R 1 1 x R b) 2x + 3y ≤ 22, d) 2x + 3y ≥ 22, –2 –2 x x + y ≤ 10, x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0. x ≥ 0, y ≥ 0. b) y d) y b) R 1 10 1 x R Con base en la función dada, completa –2 –2 x la tabla y calcula el coeficiente de c) regresión. d = y = f(x) = –0,241 – 0,087x, ∀x > 0. 9 La siguiente tabla muestra la produc- x ción de dos artículos que pasan por tres y = f(x) –2,5 0,0 2,4 4,6 8,0 no En tu cuader En tu cuaderno procesos diferentes. a) r = –1. b) r = 1. c) r = 0,5. d) r = 0. Autoevaluación Siempre A veces Nunca Resuelvo sistemas de inecuaciones lineales. Determino la solución óptima de un problema de programación lineal. Realizo diagramas de dispersión y dibujo la recta de mejor ajuste. Calculo e interpreto el coeficiente de correlación Coevaluación Siempre A veces Nunca Todos aportamos para solucionar las actividades y problemas propuestos. La comunicación entre compañeros se enmarca en un ámbito de respeto y tolerancia. Metacognición a) ¿En esta unidad, cuál es el tema que más recuerdas? b) ¿De qué manera se utiliza los temas de esta unidad en otras áreas? 179 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 179 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 179 21/1/25 16:42]]> 0 se tiene x + h > x . Nota que para h > 0 cada vez más pe- 0 0 queño, la recta L se acerca cada vez más a la recta L, lo que implica P 1 = (x 0 + h, f(x 0 +h)) h que la pendiente m(h) se aproxima cada vez más a la pendiente m de + θ(h) L L, y esto, a su vez, significa que θ(h) se aproxima a θ conforme h → 0 . θ En la Figura 6.1., se muestran: una porción de la gráfica de la función f, P 0 = (x 0 , f(x 0 )) R = (x 0 + h, f(x 0 )) una porción de la recta L que pasa por P y P , el triángulo rectángulo p Figura 6.1. h 0 1 P RP , y la recta tangente L a la gráfica de f en el punto P = (x , f(x )). 0 0 0 1 0 M.5.1.64. Calcular la integral definida de una función escalonada, identificar sus propiedades cuando los límites de integración son iguales y cuando se intercambian los límites de integración. 182 M.5.1.67. Reconocer la derivación y la integración como procesos inversos. M.5.1.62. Reconocer y graficar las funciones escalonadas para calcular el área encerrada entre la curva y el eje X. 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 182 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 182 21/1/25 16:42]]> 0. Cuan- 1 do la función es derivable en el punto x , se tiene: 0 f(x 0 + h) – f(x 0 ) df m = lím m(h) = lím = (x ). 0 h→0 h→0 h dx La recta tangente a la gráfica de la función f en el punto P = (x , f(x )) 0 0 0 es el conjunto: df 2 L = (x, y)   | y – f(x ) = (x )(x – x ) . 0 0 0 dx y La ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de la función f ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción en el punto P = (x , f(x )) está definida como: 0 0 0 df y = f(x) (x, y)   tales que y – f(x ) = (x )(x – x ). 2 0 dx 0 0 Problema 2. Sea f una función real definida en el intervalo cerrado 0 [a, b] de . Suponemos que f(x) ≥ 0, ∀x  [a, b]. a x 1 x 2 x 3 b x Denotamos con S la región comprendida por el eje x y la gráfica de la y función f. Esto es: y = f(x) S = {(x, y)   | 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b}. 2 S En la Figura 6.2. se muestran regiones de dos tipos de funciones. La primera presenta discontinuidades en la función f, y la segunda, en el a 0 x 1 x 2 b x hecho de que la función f es continua. p Figura 6.2. Integral indefinida o primitiva de una función En temas anteriores se calcularon las derivadas de algunas funciones Competencia de los tipos que presentamos a continuación. comunicacional Matemática 1. Función cuadrática y otras disciplinas 2 Considera f(x) = ax + bx + c, ∀x  , con a, b, c constantes reales En la actualidad, el cálculo dife- a ≠ 0. La derivada de esta función está definida como: rencial e integral no solo consti- df (x) = 2ax + b, ∀x  . tuye un instrumento de cálculo dx en las ciencias y la técnica, sino A esta derivada se la denota también como f'(x), esto es, que es también un conjunto de ideas y problemas que han sido df (x) = f'(x). Recuerda que esta derivada define una nueva objeto de estudio como parte dx del pensamiento. En ese sentido, función que es un polinomio de grado ≤ 1. forman parte del lenguaje que facilita la expresión de leyes y 2. Funciones polinomiales de grado ≤ 4 principios de manera matemáti- 4 2 3 p(x) = a + a x + a x + a x + a x , ∀x  , ca. Son la base para el desarrollo 0 1 2 3 4 de otras áreas de la matemática, siendo a , a , a , a , a   fijos. La derivada de p es: la física, la química, la biología, 0 1 2 3 4 dp (x) = p'(x) = a + 2a x + 3a x + 4a x , ∀x  , las ciencias económicas y socia- 3 2 dx 1 2 3 4 les, así como las distintas ramas de la ingeniería e industria. que define una nueva función, o sea, un polinomio de grado ≤ 3. 183 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 183 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 183]]> b, entonces, Entonces, b a b ∫ ∫ f(x)dx = – f(x)dx. ∫ f(x)dx = F(b) – F(a). a b a 2. Si f(a) existe, entonces, 2. Sean f, g dos funciones reales definidas en el intervalo [a, b] de , a ∫ f(x)dx = 0. F, G dos primitivas de f, g respectivamente, y λ  , entonces, a 3. Si k es una constante cual- F(x) = k + f(x)dx, ∫ quiera, entonces, 1 b 2 ∫ ∫ k dx = k(b – a). G(x) = k + g(x)dx, a 4. Si la función f es integrable ∫ b ∫ b ∫ b (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx en [a, b] y k es una constante a a a arbitraria, entonces, = (F(x) + G(x)) | b a b b ∫ ∫ kf(x)dx = k f(x)dx. b b ∫ ∫ a a λf(x)dx = λ f(x)dx = λ F(x) | , b 5. Si las funciones f y g son inte- a a a grables en [a, b], entonces k f ± g también es integrable donde , k son constantes de integración. En otras palabras, la 1 2 en [a, b] y integral definida de una suma de funciones es la suma de las inte- b ∫ [f(x) ± g(x)] = grales definidas. La integral definida del producto de un número a real por una función es el número real por la integral definida de b b ∫ ∫ f(x)dx ± g(x)dx. la función. a a 3. Sea f una función real definida en el intervalo [a, b] de , entonces, Competencia b c b ∫ ∫ ∫ socioemocional f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, ∀c  ]a, b[. a a c Analiza y reflexiona so- 4. Sea f una función real definida en el intervalo [a, b], y F una primi- bre esta frase de Albert Einstein: tiva de f. Se supone que “Locura es hacer la misma cosa f(x) ≥ 0, ∀x  [a, b]. una y otra vez esperando obte- b ∫ ner diferentes resultados”. Entonces, f(x)dx = F(x) | ≥ 0. b a Escribe una vivencia tuya que a se pueda relacionar con esta 5. Sea f una función real definida en el intervalo [a, b]. Se supone que frase. f(x) ≥ 0, ∀x  [a, b]. b d ∫ ∫ Entonces, f(x)dx ≤ f(x)dx, ∀[c, d]  [a, b]. c a 6. Sean f, g dos funciones reales definidas en el intervalo [a, b] de . Se supone que f(x) ≤ g(x), ∀x  [a, b], b b ∫ ∫ y entonces, f(x)dx ≤ g(x)dx. a a 190 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 190 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 190]]> 0, b , b , b , b , b   no nulos. 16 Dada la función f definida como 0 1 Demuestra que: 2 3 4 1 f(x) = x + x + 5, ∀x  [1, 8]. 3 16 ∫ a 2 a) (b x + b x )dx = 0. Sí se verifica –a 1 3 a) Apliquen las propiedades de las integrales para calcular y verificar el resultado. a ∫ b) (b + b x + b x )dx = 2 b a + a + a . 8 353 2 5 3 b 4 4 b 2 ∫ –a 0 2 4 0 3 5 f(x)dx = 136 – . 1 897 = 237,125 8 Sí se verifica 1 64 b) Comprueben que: 14 Resuelve las siguientes integrales por 353 4 8 ∫ ∫ < 64 8 8 cambio de variable. 136 – = f(x)dx < f(x)dx. 265 1 897 1 1 193 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 193 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 193 21/1/25 16:42]]> 0, c > 0, 2 el volumen de un sólido con la S = {(x, y)   | 0 ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ c}. aplicación de integrales? En la Figura 6.4., se muestran el intervalo [0, b], el segmento de recta de ecuación cartesiana y = c, así como la región rectangular S. El número real positivo b es la base y el número real positivo c es la altura, de la geometría elemental, se sabe que área de S = base x altura. Escribimos A(S) = bc. Sea f la función real definida como y f(x) = c, ∀x  0, b]. Resulta que f es una función escalonada, y = c c f(x) ≥ 0, ∀x  0, b], b ∫ cdx = bc. S 0 b b ∫ ∫ b 0 b x Se escribe cdx = cx | = cb, es decir, a(S) = bc = cdx. 0 0 0 p Figura 6.4. F(x) = cx + k, ∀x  [0, b], es la integral indefinida o primitiva de f. b Entonces, F(b) – F(0) = cb + k – (c × 0 + k) = bc = cx | . 0 ii) Integral definida de una función lineal restringida a [0, b]. a b Glosario Sea β   con β > 0. La función definida como + c f(x) = βx, ∀x  [0, b] se llama función lineal restringida al intervalo recorrido: espacio que c + ha recorrido, recorre o ha de [0, b]. Consideramos c   β = , y el conjunto: b recorrer alguien o algo. c S = (x, y) | 0 ≤ y ≤ x, ∀x  [0, b] . sucesión: conjunto ordenado b de términos que cumplen una Como b > 0, c > 0 y x  [0, b], resulta que f(x) ≥ 0, ∀x  [0, b]. ley determinada. En la Figura 6.5. se muestran el intervalo [0, b], el segmento de recta c de ecuación cartesiana y = x, así como la región triangular S. b y Al número real positivo b se le llama base del triángulo rectángulo y al número real positivo c se le llama altura del triángulo, de modo c 1 c que el área de la región triangular es bc, lo cual se escribe: y = x b 2 1 S a(S) = bc. 2 0 b x Calculemos la integral de Riemann de f. p Figura 6.5. b Sea n  Z , h = , x = jh, j = 0, 1, …, n. + n j Se define la sucesión de funciones escalonadas (p ) como sigue: n p (x) = f(x ) = βx = β(j – 1)h, j = 1, …, n. n j–1 j–1 M.5.1.68. Aplicar el segundo teorema del cálculo diferencial e integral para el cálculo de la integral definida de una función polinomial de grado ≤ 4 (primitiva). M.5.1.69. Resolver y plantear aplicaciones geométricas (cálculo de áreas) y físicas (velocidad media, espacio recorrido) de la integral definida, e interpretar y juzgar la validez 194 de las soluciones obtenidas. 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 194 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 194 21/1/25 16:42]]> 0. Consideramos la función definida como 2 f(x) = βx , ∀x  [0, b] Nos proponemos calcular la integral de Riemann de f, esto es, b b ∫ 2 + βx dx. Para el efecto, sea n  Z , h = , x = jh, j = 0,1, …, n. 0 n j Se define la sucesión de funciones escalonadas (p ) como sigue: Ingresa al siguiente enlace para n que conozcas acerca del mane- p (x) = f(x ) = βx = β(j – 1) h , j = 1, …, n. jo de este software: 2 2 2 n j–1 j–1 Entonces, aplicando la definición integral definida de una función lynk.ec/13m14 escalonada, y la suma de los cuadrados de los n – 1 primeros nú- meros naturales, se tiene: 195 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 195 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 195 21/1/25 16:42]]> 0, y S = S  S , donde 1 2 y 1 2 S = {(x, y)   | 0 ≤ x ≤ c , 0 ≤ y ≤ d}, 6 2 1 1 5 S = {(x, y)   | c < x < c , 2 2 1 2 4 d 0 ≤ y ≤ – (x – c )}. c – c 2 3 2 1 2 2 f(x) = x + 2x + 3 a) En el sistema de coordenadas rectangula- 1 res, representa las regiones S y S . 0 2 1 Es demostración. –4 –3 –2 –1 –1 1 2 3 4 x b) Calcula el área de la región S, y prueba que a(S) = a(S  S ) = a(S ) + a(S ) = –2 1 2 2 1 1 1 20 3 c d + (c – c )d = (c – c )d. 1 2 2 1 2 2 1 Es demostración. 6 Halla el área y limitada por la 3 Sean a , a , b, b  , tales que 0 < a < a , parábola y = x 2 1 2 1 2 1 0 < b < b, y S , S los subconjuntos de  y las rectas que 2 1 1 2 que a continuación se definen: se encuentran señaladas en la S = (x, y)   | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b + –2 0 2 2 1 1 figura. x b – b 1 (x – a ) , a 1 16 1 3 2 S = (x, y)   | a < x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b + Problema-decisión 2 1 2 7 (x – a ) . Utiliza los conocimientos aprendidos y 2b – b 1 2(a – a ) 1 decide las operaciones para calcular el 1 2 área de la región R, encerrada por la recta a) En el sistema de coordenadas rectangula- y = x + 1, el eje x y las rectas x = 1 y x = 2. 5 res, representa las regiones S y S . Grafica en tu cuaderno. 2 )dx ( +1x A 2 u = = Es demostración. 1 2 ∫ 1 2 2 14 A = ∫ ( x 2 +1 )dx = 3 u 2 0 0 198 A = (x 2 − )xdx = 5 ∫ −1 6 2 A = x x 2 + 5dx = 5,27u 2 ∫ 0 1 63 A = ∫ ( x 3 − 2x 2 − 5x + ) 6 dx = 4 u 2 −2 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 198 1 2x 2 21/1/25 16:42 21/1/25 16:42 Matematica 3 BG Plus+ MinEduc.indb 198 A = e dx = 3,19 u ∫ 0]]>