{ pertenezca a estos cuatro Conjunto de números y se define como: } 0 } − conjuntos a la vez. enteros ℤ.  = { − −−..., 3, 2, 1. Luego, el conjunto de los números enteros está formado por: + −  ∪ {}∪0  .  = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,... }. = Comunicacional Conjunto de números ⎧ a ⎫ racionales ℚ. Se define como: ! = ⎨ b / a, b ∈ " con b ≠ 0 ⎬ . ⎭ ⎩ ⊂: subconjunto ∪: unión En forma conjuntista, se define como el conjunto de /: tal que Conjunto de números números reales menos el conjunto de números \: diferencia irracionales '. racionales. ℝ \ ℚ. ∈: pertenece a ∙: no es igual a ≈: aproximado a Conjunto de números Se define en forma de conjunto como: ¿Cómo escribirías el reales ℝ. ∪ '. = símbolo no pertenece a...? M.4.1.30. Establecer relaciones de orden en un conjunto de números reales utilizando la recta numérica y la simbología matemática 14 Matemática (=, <, ≤, >, ≥). M.4.1.31. Calcular adiciones y multiplicaciones con números reales y con términos algebraicos aplicando propiedades en R (propiedad distributiva de la suma respecto del producto). 10.º EGB 22/11/24 17:03 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 14 22/11/24 17:03 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 14]]> n” si y solo si “n < m”, o sea m – n ∈ ℝ. indeterminada? Ejemplo. 12 > 6, si y solo si al realizar 12 – 6, el resultado, en este caso 6, pertenece a los números reales. Matemática 15 10.º EGB 22/11/24 17:03 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 15 22/11/24 17:03 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 15]]>, <, ≥ y ≤. estamos sujetos a las mismas leyes. Ecuaciones de primer grado ¿En qué circunstancias consideras que una persona En un salón de clases, la cuarta parte son niñas y los niños exceden a la mitad en tres. no es tratada con igualdad? ¿Cuántos estudiantes tiene el salón de clases? Traducimos del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático: la variable x representa Matemática el número de estudiantes en el salón de clases. x x La propiedad del inverso La cuarta parte: —. La mitad excedida en 3: — + 3. multiplicativo consiste en 4 2 x multiplicar cada miembro Entonces, la ecuación buscada es: + x +3 = x. de la ecuación por el 4 2 mismo número, pero invertido. Por ejemplo, en 2x = 4 multiplicamos Definición de ecuación lineal. Es una expresión de la forma ax + b = c, donde a, por el inverso b y c son números reales con a ≠ 0 y el grado de la incógnita x es 1. multiplicativo queda: Resolverla significa encontrar el valor de la variable que satisface la igualdad. 1 2x = 4 1 2 2 x = 2 A continuación, resolveremos la ecuación planteada anteriormente. ¿Por qué número debes x + 2x + 12 Primero destruimos el paréntesis y sumamos las fracciones multiplicar a la ecuación 4 = x de la izquierda. x 3 = 2 Eliminamos el denominador, aplicando la propiedad del para despejar x? x + 2x + 12 = 4x inverso multiplicativo. Transponemos los términos agrupando las variables en la x + 2x – 4x = –12 Comunicacional izquierda, y las constantes (números) en la derecha. –x = –12 Reducimos términos semejantes y despejamos x El símbolo ∞ significa x = 12 multiplicando a la ecuación por –1. infinito, es decir, no tiene fin. Respondemos: el salón de clases tiene 12 estudiantes. +∞: significa más infinito. –∞: significa menos infinito. Propiedades de las ecuaciones Digital Propiedad Enunciado Una igualdad no cambia si se le suma o se le resta un Ingresa al siguiente enlace Si a = b, entonces a ± c = b ± c. mismo número a cada miembro. web: lynk.ec/10mt04 Una igualdad se mantiene si se multiplica o divide por imprime la página 90 para Si a = b y c ≠ 0, entonces ac = bc. un mismo número distinto de cero en cada miembro. resolver ecuaciones. M.4.1.39. Representar un intervalo en ℝ de manera algebraica y gráfica, y reconocer el intervalo como la solución de una inecuación 34 Matemática de primer grado con una incógnita en ℝ. 10.º EGB 22/11/24 17:03 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 34 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 34 22/11/24 17:03]]> b a − b es positiva a ≥ b a > b o a = b a < b a − b es negativa a ≤ b a < b o a = b Una inecuación es una desigualdad de dos Propiedades de las desigualdades cantidades, tal que la una es mayor que la otra. Los símbolos <, >, ≥ y ≤ se Propiedad Expresión algebraica Ejemplos denominan signos de la desigualdad. Una desigualdad no cambia 8 < 10; 8 + 4 <10 + 4; ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción de sentido si se suma o se Si a < b, entonces, 12 < 14 Ley de tricotomía resta un mismo número a cada a ± c < b ± c. 1 > –7; 1 – 5 > –7 – 5; Sean a, b ∈ ℝ , se cumple miembro. –4 > –12 solo una de las siguientes relaciones: Una desigualdad no cambia de Si a < b y c es un número 3 < 7; 3(2) < 7(2); a > b o a = b o a < b sentido si se multiplican o se positivo, entonces, 6 < 14 dividen sus dos miembros por ac< bc. 4 > –2, 4(5) > –2(5); Comprueba la ley de un mismo número positivo. c > 0 20 > –10 tricotomía con un par de números. Una desigualdad cambia de Si a < b y c es un número –5 < 2, –5(–3) > 2(–3), sentido cuando se multiplican negativo, entonces, 15 > –6 o se dividen sus dos miembros ac > bc. 8 > 3, 8(–10) < 3(–10), por un número negativo. c < 0 –80 < –30 Tipos de intervalos Intervalo Interpretación Notación Conjunto Representación gráfica No incluye los Abierto (a, b) o ]a, b[ {x ∈ ℝ / a < x < b} –∞ a b ∞ extremos a y b. Sí incluye los extremos Cerrado [a, b] {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b} a b a y b. –∞ ∞ Semiabierto por No incluye el extremo (a, b] o ]a, b] la izquierda izquierdo a. {x ∈ ℝ / a < x ≤ b} –∞ a b ∞ Semiabierto por No incluye el extremo [a, b) o [a, b[ la derecha derecho b. {x ∈ ℝ / a ≤ x < b} –∞ a b ∞ Abierto a la No incluye el extremo izquierda y tiende izquierdo y tiende a (a, +∞) o ]a, +∞[ {x ∈ ℝ / x > a} –∞ a b ∞ a más infinito +∞. Tiende a menos No incluye el extremo infinito y abierto derecho y tiende a –∞. (–∞, a) o ]–∞, a[ {x ∈ ℝ / x < a} –∞ a b ∞ a la derecha Cerrado a la Sí incluye el extremo izquierda y tiende izquierdo y tiende a [a, +∞) o [a, +∞[ {x ∈ ℝ / x ≥ a} –∞ a b ∞ a más infinito. +∞. Tiende a menos Sí incluye el extremo infinito y cerrado derecho y tiende a –∞. (–∞, a] o ]–∞, a] {x ∈ ℝ / x ≤ a} –∞ a b ∞ a la derecha. Matemática 35 10.º EGB 22/11/24 17:03 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 35 22/11/24 17:03 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 35]]> b y b > c, entonces a < c. ( _____ ) F 3. Escribe la igualdad o desigualdad para cada 5. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales. enunciado. a) Veinticuatro es mayor o igual que un número. a) 2x – 3 < 3x – 6 x > 3 24 ≥ x _____________________________________________ 88 2 b) 7x + > 8 – 1 x x >  b) La cuarta parte de un número aumentado en 3 4 87 cinco es igual a 30. [1/6; +∞] x 530 c) –3x ≤ 3 – x ≤ 5x + 2 += _____________________________________________ 4 6. Expresa el intervalo como una desigualdad en la c) Un número es mayor o igual a –2 y menor que 7. variable x. _____________________________________________ a) (–5, 8) ___________________________________ 7 > x ≥ – 2 –5 < x < 8 d) Seis veces un número disminuido en 3 es igual b) (–∞, 3] ___________________________________ x ≤ 3 a 56. c) [4, ∞) ___________________________________ x ≥ 4 6x – 3 = 56 _____________________________________________ –7 ≤ x ≤ 12 d) [–7, 12] ___________________________________ 36 Matemática 10.º EGB 22/11/24 17:03 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 36 22/11/24 17:03 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 36]]> – x – 1 ≥ (–∞; –5/6) o x < –5/6 ( 2,6) 2,4][ 3,6) ( ∪ = _____________________________________________ 1 2 e) 3x + 0,6 < 1,2x – 1 < x + 3,4 x < –8/9 f) 2 + x + 3 < x + 2 ≤ 5(x – 4) x ≥ 8 g) 4 2 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 g) 2x – 5 > 3x + 2 x < –7 –3,4 ( 0,5 ( –3,5] ( )∪ ] = _____________________________________________ Indaguemos 10. Indaga y escribe en tu cuaderno. Las inecuaciones lineales se utilizan en la vida diaria en h) diferentes situaciones, como por ejemplo en las –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 ( ) [ –2, ) –3,5 (] = –3,+∞ ∞∪ _____________________________________________ señales de tránsito que indican el límite de velocidad, ¿en qué otra situación se emplean? Matemática 37 10.º EGB 22/11/24 17:03 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 37 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 37 22/11/24 17:03]]> 6 y 6 > 5; entonces 7 > 5. Verificamos si el par (7, 5) está en vez?, ¿qué nombre recibe esta relación? la relación. (8, 6) y (6, 5) análisis 8 > 6 y 6 > 5; entonces 8 > 5. Verificamos si el par (8, 5) está en la relación. La relación cumple con la propiedad transitiva. Matemática 49 10.º EGB 22/11/24 17:04 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 49 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 49 22/11/24 17:04]]> y} V c) Un par ordenado está formado por un solo ele­ R = {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 3)} _____________________________________________ 1 mento. ( _____ ) F c) R2 = {(x, y) ∈ M × N / y = x + 1} d) En el diagrama cartesiano se puede representar una relación binaria. ( _____ ) R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} _____________________________________________ V 2 6. Completa con argumentos la siguiente tabla. e) Las relaciones binarias tienen que cumplir necesariamente todas las propiedades. ( _____ ) F Relación R No se cumple cuando sobre A 2. Determina el producto cartesiano de los siguientes conjuntos. Existe un elemento en A que no está Reflexiva A = {1, 3, 5} B = { a, e, o} relacionado consigo mismo. C = { i, u} D = { 2, 4, 6, 8} A la relación pertenece el par Simétrica (a, b) pero no (b, a). a) A × B _____________________________________________ Existe un elemento relacionado con un A × B = {(1, a), (1, e), (1, o), (3, a), (3,e), (3,o), (5,a),(5,e),(5,o)} Transitiva segundo y este con un tercero, pero el primero b) A × C no está relacionado con el tercero. _____________________________________________ 7. Describe las propiedades de las siguientes relacio­ A × C = {(1, i), (1, u), (3, i), (3, u), (5, i), (5, u)} c) C × D nes. Utiliza las siguientes letras: R (reflexiva), S (si­ métrica), T (transitiva). _____________________________________________ C× D = {(i, 2), (i, 4), (i, 6), (i, 8), (u, 2), (u, 4), (u, 6), (u, 8)} d) B × D A A B × D = {(a, 2), (a, 4), (a, 6), (a, 8), (e, 2), (e, 4), (e, 6), (e, 8), (o, 2), (o, 4), _____________________________________________ a a (o, 6), (o, 8)} b b 3. Determina el producto cartesiano que se solicita a) ( _____ ) R en cada literal, dados los siguientes conjuntos. c c A = {n, s, v}, B = {a, e}, C = {1, 2} d d a) A × B = ______________________________________ {(n, a); (n, e); (s, a); (s, e); (v, a); (v, e)} A A b) B × C = ______________________________________ {(a, 1); (a, 2); (e, 1); (e, 2)} a a c) A × A = ______________________________________ {(n, n); (n, s); (n, v); (s, n); (s, s); (s, v); (v, n); (v, s); (v, v)} b) ( _____ ) b b R, S, T 4. Representa el producto cartesiano A × B y A × A, c c utilizando los diagramas sagital y cartesiano. A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6} 50 Matemática 10.º EGB 22/11/24 17:04 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 50 22/11/24 17:04 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 50]]> (x ) x < x ; entonces, (x ) = (x ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (x) (x) (x) (x ) 2 (x1) = (x2) (x1) (x ) 1 (x2) 0 x 0 x 0 x x1 x2 x1 x2 x1 x2 56 Matemática M.4.1.48. Reconocer funciones crecientes y decrecientes a partir de su representación grafica o tabla de valores. 10.º EGB M.4.1.49. Definir y reconocer una función real identificando sus características: dominio, recorrido, monotonía, cortes con los ejes 22/11/24 17:04 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 56 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 56 22/11/24 17:04]]> 0 (positivo), la parábola es cóncava hacia arriba y tiene un mínimo que 6 es el vértice. Es decreciente en (–∞; 0] y creciente en [0; ∞). x < 0 5 Eje de simetría a > 0 • Si a < 0 (negativo), la parábola es cóncava hacia abajo y tiene un máximo que Curva Cóncava decreciente 4 hacia arriba es el vértice. Es creciente en (–∞; 0] y decreciente en [0; ∞). 3 Cortes de la parábola con los ejes coordenados: son los puntos donde la 2 x > 0 función es cero. Para hallar el corte con el eje x, se tiene Vértice Curva 1 creciente f(x) = 0 y se resuelve la ecuación ax 2 + bx + c = 0. –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x El corte con el eje y es (0, c), cuando x = 0. Eje de simetría: es la recta que divide simétricamente a la parábola; está dado –1 x < 0 a < 0 b Curva –2 Cóncava por la ecuación =−x . creciente –3 hacia abajo a 2 Vértice (V): es el punto de corte del eje de simetría con la parábola. Tiene como –4 x > 0 b b –5 Curva coordenadas: V ,f . decreciente 2a 2a –6 La función f(x) = ax 2 tiene: Dominio: ℝ –7 f(x) = –ax 2 + − Recorrido:  {} si a0, > ó  ∪ ∪ {} 0 ,sia <0 0 104 Matemática M.4.1.57. Definir y reconocer una función cuadrática de manera algebraica y gráfica, determinando sus características: dominio, 10.º EGB recorrido, monotonía, máximos, mínimos y paridad. 22/11/24 17:04 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 104 22/11/24 17:04 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 104]]> 0 se puede decir: si c > 0, la 2 función se desplaza c unidades hacia arriba. 2 1 y = x – 2 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x Si c < 0, la función se desplaza c unidades hacia abajo. –1 El dominio son todos los números reales ℝ. Dos unidades –2 hacia abajo. El recorrido: si a > 0, y ≥ c, si a < 0, y ≤ c. Vértice (0, –c): (0, –2) Eje de simetría, eje y. Vértice (0, c). Desplazamiento horizontal de la función cuadrática de la forma f(x) = (x + h)2 Trazamos y analizamos la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas: f(x) = (x + 4)2, g(x) = (x – 2)2. f(x) 2 y = (x + 4) 2 y = x 2 y = (x – 2) 2 Graficamos la función y = x . 6 2 2 5 La gráfica de y = (x + 4) indica que la gráfica inicial y = x se desplazó hacia 2 4 la izquierda 4 unidades y la gráfica de y = (x – 2) indica que se desplazó 3 hacia la derecha 2 unidades. 2 Cuatro 2 Dos unidades En forma general, en la función f(x) = (x + h) , si h > 0, se desplaza la gráfica unidades 1 a la derecha 2 a la izquierda y = x hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, se desplaza la función inicial a –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x la derecha h unidades. –1 Ejemplo Graficamos la función y = x 2 – 2x – 3. Luego, determinamos la concavidad, el eje de simetría, vértice, dominio y recorrido de la función. Reconocemos en la función y = x 2 – 2x – 3, los coeficientes: a = 1, b = –2 y c = –3. f(x) 5 1 > 0 cóncava hacia arriba b 2 4 Determinamos el vértice de la parábola: =−x ==1 2 a 2 3 b 2 f = f(1)=1 2(1) 3= 4;V(1, 4) 1 creciente [1, +∞) 2a eje de simetría x = 1 b 2 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x Determinamos la ecuación del eje de simetría. =−x ==1 , x = 1 decreciente –1 2 a 2 (–∞, 1] –2 Tomamos valores de x a los dos lados del eje de simetría. Elaboramos una tabla V(1, –4) –3 Dom: todos los  de valores y graficamos. –4 V Rec: [–4, + ∞) Matemática 105 10.º EGB 22/11/24 17:04 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 105 22/11/24 17:04 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 105]]> 0, existen • Dividimos cada lado de la ecuación para a: x + x = − a a dos soluciones reales diferentes. 2 b b 2 c b 2 Si D < 0, la ecuación no • Completamos el cuadrado: x + x + 2a = a + 2a a tiene soluciones reales. ¿Qué tipo de solución tiene • Resolvemos: x + b 2 = 4ac +b 2 una ecuación que es un 2a 4a 2 trinomio cuadrado 2 2 2 4 4 perfecto? x + b = − ac b4 + =± b − ac , x = –b ± b − ac 2 a 4 a 2 2 a 2a 2 a 4 − ac Las raíces de la ecuación cuadrática son: x = 2 a 116 Matemática M.4.1.59. Resolver la ecuación de segundo grado con una incógnita de manera analítica, (fórmula binomial) en la solución de 10.º EGB problemas. 22/11/24 17:04 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 116 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 116 22/11/24 17:04]]> 0 hacia arriba _____________________________________________ b) Las coordenadas del vértice son: No tiene solución en R No tiene solución en R (–1, –1) _____________________________________________ b) 4x 2 + 8x – 25 = 0 d) 4x 2 – 6x + 24 = 0 c) El punto de corte con el eje y: (0, 0) _____________________________________________ x1 = 3,4, x2 = –0,4 Sin solución en R d) Las raíces o soluciones de la ecuación son: x = –2 y x = 0 _____________________________________________ Habilidades blandas: emociones 1 2 e) Escribe el dominio y rango: 11. Cuando tengas que realizar tus tareas y demás D = Reales y R = [–1, ∞) obligaciones como estudiante, debes ser optimista. _____________________________________________ Comparte tu sentir con tus compañeros. Metacognición para aprender a aprender Responde en forma oral o escrita. Contenido ¿Qué métodos o técnicas utilizas para graficar una función cuadrática? ¿Qué estrategias utilizas para identificar los elementos de una parábola? ©Shutterstock ¿Qué estrategias empleas para resolver problemas del mundo real, que se pueden modelar con funciones cuadráticas? ¿Cómo aplicas tus conocimientos sobre funciones cuadráticas en situaciones cotidianas? Matemática 131 10.º EGB Matematica 10 EGB Cultiva.indb 131 22/11/24 17:04 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 131 22/11/24 17:04]]> 10 p q (p ∨ q) p (p ∨ q) ∧ p i) VVV V V V V V ii) VFF V F V V V F V V F F iii) VVF F F F F F iv) FFF − 2 b) [ p (∨∧ r c) ( ) > −3 3 25 o − 5 =−5 q r)]∨ ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción p q r (q ∧ r) [p ∨ (q ∧ r)] [p ∨ (q ∧ r)] ∨ r i) VVV V V V V V V ii) VFF V V F F V V iii) VVF V F V F V V iv) FFF V F F F V V F V V V V V Actividad cooperativa F V F F F F Trabajen en equipo y resuelvan. F F V F F V 9. Escriban en lenguaje común, utilizando los F F F F F F conectores lógicos. Interpreten y expresen verbalmente. rp)∧ c) [( ∧ q]∧ p a) Sean p: Carla es deportista y q: Carla es bailarina. p q r [(r ∧ p) [(r∧p)∧q] [(r∧p)∧q]∧ p i) p q ii) p v q iii) (p q) v q V V V V V V V V F F F F b) Sean p: Miguel viaja a México y q: Miguel viaja a V F V V F F Colombia. V F F F F F i) p q ii) p v q iii) (p v q) q F V V F F F c) Sean p: Estudio matemática, q: Estudio inglés, F V F F F F r: Estudio artes escénicas F F V F F F F F F F F F i) p r ii) q v r iii) (p v q) r [( r]∧ ∧ rp)∨ q 8. Determina el valor de las proposiciones simples y 10. Realicen las siguientes operaciones, empleando luego halla el valor de verdad de cada proposición tablas de valores de verdad. ( pr) ( qr) ∨∧ ∨ compuesta. Guíate con el ejemplo. a) [( rp)∨ r]∧ b) r (∧∨ q p) ∧ q • Madrid está en España o Londres está en c) ( pr) ( qr) d) p ( p rq) ∧ ∧ ∨ ∨ ∨∧ Francia. q p) r (∧∨ Indaguemos p v q V V F 11. Visita ∨ p rq) ∧ p ( la biblioteca e indaga en qué consiste ∧ En cada literal selecciona la respuesta correcta. la disyunción inclusiva y exclusiva; escribe dos ejemplos. a) Un cuadrado es un rombo y un cuadrilátero. 12. Indaga acerca de otros conectores lógicos y escribe i) VVV dos ejemplos de proposiciones compuestas que utilicen estos conectores. ii) VFV Matemática 139 10.º EGB 22/11/24 17:05 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 139 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 139 22/11/24 17:05]]> a y c > b. 3 A partir de la fórmula del teorema de Pitágoras, despejamos para obtener las fórmulas que permiten el cálculo de los catetos. Para encontrar la hipotenusa Para encontrar los catetos Socioemocional Un cateto es igual a la raíz cuadrada del cua- La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de drado de la hipotenusa menos el cuadrado La base para tener buenas la suma de los catetos elevados al cuadrado. del otro cateto. a = c 2 −b 2 relaciones interpersonales M.4.1.63. c = a 2 + b 2 a = c 2 −b 2 b = c 2 − a 2 esta en reconocer las 2 2 emociones de los demás, Para resolver el problema planteado al inicio, es necesario identificar lo que − a b = c así como conocer y manejar tus propias deseamos hallar, en este caso, un cateto. Por lo tanto: emociones. 2 2 Según tu experiencia, a = 150 –125 a= 6 875 a = 82,91 m ¿que importancia tienen para ti las relaciones Solución: El ancho de la cancha de fútbol es 82,91 metros. 178 Matemática 10.º EGB M.4.2.15. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos. 22/11/24 17:05 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 178 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 178 22/11/24 17:05]]>