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<Search><pages Count="30"><page Index="1"><![CDATA[3



                                                                                                                            BG

                          Comunicacional                                         Socioemocional
                                                                                                                                                                                                                                         3      BG
                                             Digital                 Matemática












                                                    COMPETENCIAS





                                                     INSERCIONES
                                                    CURRICULARES

                                                                                                                            Matemática











                                          Educación                    Cívica, Ética                                                                                                                                                            Matemática
                                        Socioemocional                 e Integridad

                            Desarrollo                 Seguridad Vial                Educación
                            Sostenible                  y Movilidad                  Financiera
                                                         Sostenible

























                   Contacto: 098 747 9990
               Correo: distribuidora_ra@hotmail.com
                Guayaquil: CC Albán Borja, Local 88]]></page><page Index="2"><![CDATA[Á
                                          Integral indefinida y definida






                                                                                               Álgebra y funciones
                      Aplicación de integrales en medicina
                      En medicina, las integrales se aplican para calcular dosi caciones precisas de medicamentos. Esto es

                      crucial para determinar la cantidad de sustancia activa que se debe administrar en función del tiempo
                      para mantener niveles terapéuticos en el cuerpo.
                      Cuando un medicamento se administra a lo largo del tiempo, por ejemplo, a través de una infusión
                      intravenosa, la cantidad total que el cuerpo recibe no se calcula simplemente sumando, ya que la ve-

                      locidad de absorción puede variar. En estos casos, se utiliza una integral de nida para calcular la dosis
                      acumulada con precisión.
























































                 ©Shutterstock




                     Matemática
                              a
                     Mat
                        emátic
                     3.º BG
                     3.º BG
                                                                                                                     21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   106                                                                          21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   106]]></page><page Index="3"><![CDATA[v
                                                                           bser
                                                                                  a y r
                                                                                             da
                                                                                       ecuer
                                                                         O Observa y recuerda
                                                                         •   ¿Qué observas en la imagen?
                                                                         •   ¿Por qué es importante personalizar
                                                                             el tratamiento en un paciente?


                                                                         ¿Q ué apr  ender
                                                                           Observa y recuerdaemos?


                                                                                                           Integral
                                                                                                          inde  nida.
                                                                                                         Interpretación
                                                                                                          geométrica.
                                                                                                         Propiedades
                                                                                                           básicas








                                                                                                       Integración directa
                                                                                                         y por cambio
                                                                                                          de variable




                                                                             Integral


                                                                                                           Integral
                                                                                                           de  nida.
                                                                                                      Sumas de Riemann.
                                                                                                        Primer teorema
                                                                                                        fundamental de
                                                                                                           cálculo







                                                                                                         Área de una

                                                                                                        super cie plana
                                                                                                      respecto de los ejes
                                                                                                         coordenados






                                                                         En la dosificación de medicamentos para
                                                                         pacientes es necesario aplicar matemáticas.







                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   107
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   107                                                                          21/8/25   12:52]]></page><page Index="4"><![CDATA[Integral inde nida








                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      Una empresa fabrica juguetes educativos, el costo  jo inicial cuando no se produce

                                         nada es de $1 000, es decir C(0) = 1 000. El departamento de análisis de costos deter-
                     ¿Cuál es el valor de
                     la derivada de una   minó que el costo marginal de producir x unidades es:
                           constante?                                  Cx) = 6 x + 50
                                                                         ’(
                                         Esto  signi ca  que,  por  cada  unidad  adicional,  el  costo  varía  según  esa  función.

                                         La empresa quiere saber cuál es la función del costo total C(x).
               ©Shutterstock              Pienso y progreso

                                          En las empresas siempre hay costos fijos, como el arriendo. ¿Qué otro gasto es fijo?


                                         U  nidad de conocimientos
                                         Antiderivada o primitiva

                                         Se dice que F es una antiderivada o primitiva de f, en un intervalo I si Fx’( ) = fx) para
                                                                                                           (
                                         todo x en el intervalo I.
               La producción de juguetes   Así, por ejemplo, la antiderivada de fx() = 3 x  puede ser:
                                                                                2
               educativos implica cálculo
                                                                 2
                                                3
                                                                               ,
                                                                                              x
                                                                           3
                                                                      (
               de costos.                Fx() =  x , porque F’(x) = 3x  o   F x) =  x −5  porque F’(x) = 3x 2
                                                                                 2
                                         En forma general, una antiderivada de fx() = 3  se puede escribir como Fx() =  x + C.
                                                                                                              3
                                                                                x
                                         Interpretación geométrica
                         y

                         5               Geométricamente, la integral inde nida representa una familia de curvas.


                     C = 4  4 4 4 4      La integral inde nida  tiene muchas soluciones, cada una di ere de la otra por el valor
                           (1, 3)                                                                 3
                                                                                                     C
                         3               de la constante. Al derivar cada una de las antiderivadas   Fx() =  x +   se obtiene la
                          = 2
                         C = 2           función fx() = 3 x .
                                                        2
                         2 2 2 2
                         1
                       C = 0             Integración indefinida
                       –
                 –3  –2 –1 0  1  2  3  x

                        –1               La integral inde nida se denota  . La solución general se expresa así:
                             = –2
                             = –2
                             = –2
                        –2 2 2  C  C  C = –2  ∫ fx dx = Fx() + C, donde f(x) es el integrando, dx es la variable de integración, F(x)
                             = –2
                                           ()
                           F: (x) = x  + C
                                3
                                         es una antiderivada y C la constante de integración.
                                         Reglas básicas de integración
                         Matemática
                                                  Regla                 Simbología                  Ejemplo
                       Se considera a la   Integral de una constante   kf xdx = k fx()+ C        ∫ 3xdx =  3 xdx
                                                                                                         ∫
                                                                       ()
                    integración como la   por una función            ∫        ∫
                 operación inversa de la                                    x n+1                     x 41  x 5
                                                                                                       +
                  derivación y viceversa.  Integral de una potencia  ∫ xdx =    ; n ≠−1       ∫ xdx =    =   + C
                                                                                                 4
                                                                       n
                                                                                                       +
               Para obtener una solución                                    n+1                      41    5
                  particular es necesario   Integral de la función 1/x  ∫  1 dx =ln()  C        ∫  1 dx =ln()  C
                                                                                                         x +
                                                                               x +
                 conocer las condiciones                                x                         x
                 iniciales o un punto por
                                                                                                             ∫
               donde pasa la antiderivada,                                                   ∫ ( x + ) 3  dx = ∫  xdx + 3 dx
                                                                       ())
               al reemplazar ese punto se   Integral de la suma y resta  ∫ ( fx()± gx dx = ∫ fx dx ± ∫ gx dx  x 2
                                                                                       ()
                                                                               ()
                                                                                                              +
                    obtiene el valor de la   de funciones.                                   ∫ ( x + ) 3  dx =  + 3 xC
                          constante C.                                                                  2
                     Matemática
                     3.º BG
                                                                                                                     21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   108                                                                          21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   108]]></page><page Index="5"><![CDATA[A  cción y expresión
                                                                                                       Digital
                  Ejemplos paso a paso
                  Resolvamos nuestro problema inicial.                                           Algunos programas o
                                                                                                 software, tales como
                  1.  Sea la función de costo marginal Cx’( ) = 6 x + 50, con la condición inicial C(0) = 1 000  Simbolab, Maple o
                                                                                                 Mathematica, pueden
                   Paso 1. Para determinar la función de Costo   Paso 2. Aplicamos las reglas básicas de   calcular una integral paso
                   total integramos la función de Costo marginal. integración.                   a paso. Puedes usar estas
                   Cx) = 6 x + 50                      Cx() = 6 xdx + 50 dxC x) =  x 6  2  + 50 xC;+  y otras herramientas para
                     ’(
                                                            ∫
                                                                   ∫

                                                                        ;(
                                                                                                 verificar las integrales
                        ∫
                   Cx() = (6 x + ) dx                    Cx () = 3 x + 50 x C   2                indefinidas de este tema.
                              50
                                                               2
                                                                     +
                   Paso 3. Como la condición inicial es C(0) = 1 000, reemplazamos en la función de costo
                   total. La función de costo total con la condición inicial es:
                                    2
                                               =
                                                                            2
                                          +
                             Cx() = 3 x + 50 x C; 0 30  2  ( ) + C ⇒  C = 0 ;   C x() = 3 x + 50 x
                                                        0
                                                 ( ) + 50
                  2.  Determinamos la solución de las integrales con el siguiente proceso.
                         Integral original        Reescribir                Integrar               Simpli car

                                                                            −3
                        a)  ∫  x 1 4 dx            ∫ xdx                   x −3  +=                  −1 + C
                                                      −4
                                                                                C
                                                                                                      3
                                                                                                     x
                                                                      1
                                                  4
                           ∫
                                                                         5
                                                                                                             +
                                                                              3
                              2
                        b) (x + 3 ) dx         ∫ ( x +  x 6  2  + 9) dx  5 x +  6  x + 9xC+=    1 x +  5  2x +  3  9xC
                                  2
                                                                                                5
                                                                            3
                                                                         9 2   x  5 2            2     4
                                                                        x
                                      )
                                 3
                               (
                        c)  ∫  xx + 2 xdx       ∫ (x  / 72  +  x 2  / 32 )dx  9  + 2  5  + C =    x 9 2  +  x  5 2  +  C
                                                                         2      2                9     5
                  3.  Un automóvil se desplaza por una carretera en línea recta. Su velocidad en fun-
                      ción del tiempo está dada por la ecuación: v(t) = 4t + 2, medida en m/s.       Seguridad vial
                      Se sabe que en el instante t = 0, la posición inicial del automóvil es de 10 m
                      respecto del punto de referencia; por ejemplo, una estación de peaje.      La seguridad vial no es
                                                                                                 solo una cuestión de
                      a)  ¿Cuál es la expresión para la posición s(t) del automóvil en función del tiempo?  señales de tránsito, reglas o
                                                                                                 controles policiales. Es una
                      b)  ¿Cuál es la posición del automóvil al cabo de 5 segundos?              cuestión de conciencia,
                                                                                                 responsabilidad... y
                   Paso 1. Al integrar la velocidad se obtiene el desplazamiento. Determinamos la expresión   también de matemáticas.
                   de la posición s(t).  2                                                       Cuando conducimos,
                        ∫
                                              +
                   st() = (4 t + ) 2  dt;      s t) = 4  t 2  + 2 tC                             cada decisión que
                                    (
                                                                                                 tomamos: cuánto acelerar,
                              +
                         2
                   st () = 2 t + 2 t C                                                           cuándo frenar, a qué
                   Paso 2. Reemplazamos las condiciones iniciales s(0) = 10, determinamos el valor de C y la   distancia mantenernos de
                                                                                                 otro vehículo, entre otros,
                   función posición.                                                             involucra conceptos
                              +
                                    =
                         2
                                      ( ) + 20

                   st() = 2 t + 2 t C; 10 20  2  ( ) +  C; 10 =  C                               como velocidad, tiempo

                         2
                   st() = 2 t + 2 t +10                                                          y distancia.
                   Paso 3. Evaluamos la posición en t = 5 segundos.
                         2
                   st() = 2 t + 2 t +10
                                     =
                   s() = () + () +5  2 5  2  2 5  1070 m
                  A los 5 segundos el auto se encuentra a 70 m del punto de partida.                                   ©Shutterstock
                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG
                                                                                                                     21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   109                                                                          21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   109]]></page><page Index="6"><![CDATA[DUA
                       ó                                                                     Acción y expresión




               1. Completa la tabla e integra.

                       Integral original        Reescribir                Integrar               Simpli car

                           5
                     a)      dx
                         3  4
                           x

                     b) ( x + ) 2 dx
                        ∫
                              1
                           3
                           3
                           x + 
                              5
                     c)   ∫  2  dx
                           x   
                            (
                     d)  ∫  xx − ) 2  dx


                           3    
                     e)   ∫  −  3  xdx
                                 
                           x 3  

               2.  En los siguientes ejercicios se presenta la grá ca de la antiderivada de una función, dibuja tres antiderivadas

                   más. (Hay varias respuestas).
                   a)  F(x) = x + C                                   c)  F(x) = x  + C
                                                                                2
                                      y                                                     y
                                      4                                                      6
                                      3                                                      5
                                      2                                                      4
                                      1                                                      3
                                                                                             2
                        –5 –4  –3 –2 –1 0 0  1  2  3  4  5  6  7  x
                                     –1                                                      1 1 1 1
                                     –2
                                                                            –6 –5 –4  –3 –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  x
                                     –3                                                     –1
                                     –4                                                     –2

                                                                                 1
                   b)  F(x) = –x  + C                                 d)  F(x) =     + C
                             3
                                                                                2
                                                                               x  + 1
                                        y                                                   y
                                         5                                                  6
                                         4                                                  5
                                         3                                                  4
                                         2                                                  3
                                         1 1 1                                              2
                        –6 –5 –4  –3 –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  x                           1 1
                                        –1
                                                                            –6 –5 –4  –3 –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  x
                                        –2                                                  –1
                                        –3                                                  –2


                     Matemática
                     3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   110                                                                          21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   110]]></page><page Index="7"><![CDATA[3. Veri ca el enunciado demostrando que la deriva-   Necesidades educativas

                      da del lado derecho es igual al integrando del lado
                      izquierdo.                                         Trabajar en equipo con un compañero con una
                                                                         habilidad especial puede ser una experiencia
                           6       2
                            − 
                      a)    ∫   dx  =  + C                             enriquecedora, te permite fomentar un ambiente
                           x 4    x 3                                  de empatía, paciencia y comprensión mutua.

                                                                        Actividad cooperativa
                                                                     Reúnanse en grupos y resuelvan los siguientes
                                 1           1                     problemas.
                                            4
                              3
                      b)    ∫  8x +  2  dx = 2x −  + C
                                2x           2x                    5.  Un vivero de plantas verdes suele vender cierto ar-
                                                                         busto después de 6 años de crecimiento y cuidado.
                                                                         La velocidad de crecimiento durante esos 6 años
                                                                         es de aproximadamente, dh/dt = 1,5t + 5, donde
                                                                         t es el tiempo en años y h la altura en centímetros.
                                           1
                      c)   ∫ ( x + )( x − ) 4  dx =  3  x −16 x C        Las plantas de semillero miden 12 cm de altura
                                              3
                                                    +
                               4
                                                                         cuando se plantan (t = 0).
                                                                         a)  ¿Cuál es la altura después de t años?
                                                                         b)  ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se

                                         2
                            x − 1   2( x + 3)                             venden?
                             2
                      d)    ∫  3   dx =     + C
                            x  2      3  x





                  4. Encuentra la integral inde nida y simpli ca     6.  Un químico está calentando una sustancia en un


                      la solución.                                       laboratorio. La tasa de cambio de la temperatura
                      a)  ( 12− ) xdx  = 12 −  x 2  + C                  en grados Celsius por minuto está dada por:
                         ∫
                                       x
                                                                         dT/dt  = 2t +1 donde: T es la temperatura en °C
                                           2
                                                                         y t el tiempo en minutos.
                                                                         Se sabe que la temperatura inicial al comenzar
                                                                         el experimento (en t = 0) es de 20 °C.
                                                                         a)  ¿Cuál es la función de la temperatura T(t)
                      b)  ( 3x + 5x − )    x +  5x 2  − 2xC+                en función del tiempo?
                         ∫
                                    2 dx =
                              2
                                            3
                                                2
                                                                         b)  ¿Cuál será la temperatura de la sustancia
                                                                            después de 5 minutos?


                           6x − 2x 
                              2
                                               +
                                          2
                      c)    ∫      dx = 3x − 2x C
                             x    
                                                                       Indaguemos
                                                                     7. Investiga. Si resuelves una integral aplicando las
                                                                         reglas de integración, ¿cómo puedes determinar si tu
                                                                         solución es correcta? Escribe un ejemplo y verifícalo.

                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   111
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   111                                                                          21/8/25   12:52]]></page><page Index="8"><![CDATA[DUA
                                                                                             Participación



               Calculadora de integrales en línea


               Introducción

               La calculadora de integrales te permite resolver en línea integrales y antiderivadas de
               funciones — ¡Gratis! Además, te permite veri car las soluciones de ejercicios de cálculo.

               Muestra el procedimiento completo; es decir la integración, paso a paso.

              Características/elementos de esta IA

               Abre el link https://www.calculadora-de-integrales.com/. Te encontrarás con un ambiente amigable en el cual

               puedes comenzar a navegar. La calculadora de integrales soporta integrales de nidas e inde nidas (antiderivadas),

               así como funciones de integración con muchas variables.

               ¡También puedes veri car tus respuestas!
              Ejemplo resuelto paso a paso

               Resultados obtenidos de la IA
               a)  Al ingresar a la página te encuentras con este entorno, en la parte superior
                   dispones de un espacio para digitar la integral que deseas resolver.

               b)  Digitas ‘enter’ y se despliega paso a paso la solución. Resolvamos la integral:
                     2
                   ∫  x +  x x 2 + 3 dx. Aparecerá lo siguiente:

               c)  Digitas la integral a calcular.

               d)  La herramienta te
                   propone realizar

                   una simpli cación.
                   Das clic y aparecerá

                   simpli cada, luego
                   el proceso de
                   cálculo, explicado
                   paso a paso.























                     Matemática
                     3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   112                                                                          21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   112]]></page><page Index="9"><![CDATA[Actividades con la calculadora de integrales paso a paso

                  1.   Escribe las siguientes integrales directas en la calculadora en línea.
                      a)  ( x +  3  x −  x 5 ) dx       b)     ∫  x −  x 5  − 2  + 3   dx  c)     ∫   3  x −  x 5 +  x   dx
                                                               4
                         ∫
                                      −
                                       3
                             3
                                                                  x 2                              x      
                  2.   Imprime la captura de pantalla y pega aquí la forma como aparecen luego de digitarlas.


























                  3.   Resuelve cada una de las integrales anteriores y veri ca con la calculadora online de integrales si el proceso
                      y la respuesta son correctos.


                                                           4
                                      −
                                      3
                            3
                      a) ∫ ( x +  3  x −  x 5 ) dx   b) b)    x −  x 5  − 2  + 3   dx  c) c)     3  x −  x 5 +  x  dx
                                                          ∫
                                                              x 2                       ∫   x        
                               10
                         x +  x 3  3  + 10  + C       x −  x 9  2  + 5                −  x 5 + 2  x + 3 3  x + C
                          6
                                                       6
                              x 4  2                      x 3  3  +
                  4.   Resuelve las siguientes integrales; veri ca con la calculadora online si la resolución es correcta.

                      a) a)  2 (  x −  x 3 + 2) dx   b) b)  ( x + 2 3  x 1) dx        c) c)    ∫  x +  x 5 − 3  dx
                                                        ∫
                         ∫
                                                                                            1
                                                                  +
                                                           3
                             2
                                                                                            2
                                                                                                    
                       x 4 (  x −  x 9 + 12)                4
                           2
                                                      x 4  x 3  3                            3
                                                                xC
                             6                        4  +  2  + +                     x 5  2  +  x 2  2  − 3 +
                                                                                                 xC
                                                                                      2     3
                  5.   Investiga qué otra IA puede ayudarte a resolver ejercicios y problemas con integrales. Menciónala. Habla sobre
                      el uso ético de esta IA.
                      __________________________________________________________________________________________________________

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________


                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   113                                                                          21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   113]]></page><page Index="10"><![CDATA[Técnicas de integración.


                                         Cambio de variable





                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      La concentración de un medicamento en la sangre en el tiempo t está dada por:
                                                  t 3  2
                  ¿Cuál es el significado   Ct () =  2
                                                3
                geométrico de la integral      ( t + ) 1
                           indefinida?
                                         ¿Cuál es la cantidad total de medicamento absorbido en el tiempo t?

                                         Para resolver se debe calcular la integral:  ∫ (  3 3t 2 1) 2  dt
               ©Shutterstock                                                   t +


                                          Pienso y progreso
                                          ¿Por qué una persona no debe automedicarse?

                                         U  nidad de conocimientos

               Análisis de la concentración de   Este método es una consecuencia de la derivación de funciones compuestas. Como su
               medicamentos en la sangre.
                                         nombre indica, se trata de sustituir la variable x por otra variable u mediante una nueva
                                         función g tal que x = g(u), para transformar el integrando f(x)dx en otro más sencillo.
                                         De esta manera, dx = g’(u)du, con lo que quedaría que:

                                                                                   g udu
                                                                  ∫ fx dx =()  ∫ fg u ⋅(( )) '( )
                      Ética e integridad  Si el cambio de variable ha sido bien elegido, la última expresión será más fácil de
                                         integrar que la primera. Una vez calculada esta, se deshace el cambio y tendremos
                           Administrar   así la integral pedida.
                      un medicamento
                    a un paciente es una   A  cción y expresión
                       responsabilidad
                     fundamental en el   Ejemplos paso a paso
                 cuidado de la salud; por   Vamos a integrar la función de nuestro problema inicial.
                 ello, los médicos deben
                  actuar con honestidad,   Caso I. Cuando en el integrando aparezca un producto o cociente de funciones, de
                      responsabilidad y                                                     3t 2
                       profesionalismo,   modo que una de ellas ‘recuerda’ la derivada de la otra.  ∫  2  dt
                                                                                            3
               asegurándose siempre de                                                    ( t + 1)
                 priorizar el bienestar del
                paciente sobre cualquier   Paso 1. Hacemos un cambio de variable  Paso 2. Cambiamos la integral en función de u
                              interés.   y derivamos los dos lados de la expresión. e integramos.
                                             3
                                           =
                                          ut +1                                3t 2      du    − 2  − u − 1  − 1
                                                                                                         C
                                               2
                                          du = 3 tdt                        ∫ ( t + 1) 2  dt =  u 2 ∫  = ∫ udu =  1  +=  u  + C
                                                                               3
                                         Paso 3. Regresamos a la variable original. Paso 4. Respondemos la pregunta.
                                                       −
                                                        1
                                              3t
                                           ∫ ( t + 2 1) 2  dt = ( t + 1)  + C  La cantidad de medicamento absorbido en un
                                                                            tiempo t está dado por la función:
                                                       3
                                             3
               ©Shutterstock                                                (t −1 + ) 1  + C
                                                                              3
               ¿Alguna vez has escuchado   Caso II. En algunos casos es necesario despejar de la sustitución la variable y reem-
                      de malas prácticas   plazar, recuerda que al sustituir la integral debe quedar en función de la nueva varia-
                    médicas? Cuéntanos.  ble, la cual debe ser la misma del diferencial en estos casos u.


                     Matemática
                     3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:52
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   114
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   114                                                                          21/8/25   12:52]]></page><page Index="11"><![CDATA[A  cción y expresión

                   Paso 1. Calculemos la siguiente integral.  Paso 2 . Realizamos cambio de variable
                                                          x
                                                             3
                                                                 x
                                                                   u
                   ∫  2x + 1 dx                        u =+ ⇒= −3
                      x +
                                                          =
                                                       du dx
                         3
                   Paso 3. Cambiamos la integral en función de u e integramos.
                                (
                                            ∫
                   ∫  2x + 1 dx = ∫ 2 u − 1 3) + 1 du = ( 2u − )  − 1 2  ( ∫  2u  1 2  − 5u − 1 2 ) du       Socioemocional
                                                 5 u du =
                         3
                      x +
                                  u
                                    2
                              3     1
                             u  2  u  2    4     3         1      4       3
                                                       x
                                                      (
                                                                                  3
                                        C
                                                              C
                                      =2  − 5  + = ( x + 3)  2  − 10 + 3)  2  +=  ( x + ) −3  10 x  + + C  Analiza esta frase y escribe
                                                                       +
                              3     1      3                      3                              un ejemplo de una
                               2    2
                                                                                                 situación en la que
                  Ejemplos paso a paso                                                           podrías aplicarla.
                                                        8x
                  1.  Integramos por cambio de variable.  ∫  4x + 9 dx                           “Estar preparado es
                                                                                                 importante, saber esperar
                                                         2
                                                                                                 lo es aún más, pero
                   Paso 1. Esta integral guarda cierto   Paso 2 . Hacemos el cambio de variable  aprovechar el momento
                   parecido con                        u = 4 x + 9                               adecuado es la clave de
                                                            2
                                                                                                 la vida”.
                   ∫ dx  = ln  x () + C                du = 8 xdx                                          Arthur Schnitzler
                     x
                   Paso 3. Cambiamos la integral en función   Paso 4. Regresamos a la variable original.
                   de u e integramos.                  ∫  8x  dx = ln( 4x + 9 +)  C
                                                                      2
                                                          2
                      8x
                   ∫  4x +  9 dx = ∫  du  = ln()  C     4x +  9
                                     u +
                      2
                                u
                                                     ∫
                  2.  Integramos por cambio de variable.  ( 3x + )
                                                             1 dx
                   Paso 1. Hacemos el cambio de variable  Paso 2 . Cambiamos la integral en función de u y sacamos la constante.
                   u = 3 x +1                             ( 3x + )     1 du

                                                                        2
                   du = 3 dx                            ∫      1 dx = ∫ u  3
                   du  =  dx                                                    =  1 ∫ udu
                                                                        1
                                                                        2
                    3                                               3
                   Paso 3. Integramos la expresión.     Paso 4. Regresamos a la variable original.
                               3
                   1  udu =  1 u  2  + C =  2  u 3 2  +  C  ∫  ( 3x + )    =  2  3x (  +1) + C = 2  ( 3x + 1)  3x + 1 C+
                                                                               3
                       1
                                                               1 dx
                       2
                   3 ∫      3 3      9                                9              9
                               2
                  3 .  Integramos por cambio de variable.  x (  x 4 +   dx
                                                              1)
                                                     ∫
                   Paso 1. Hacemos el cambio de variable y despejamos x. Paso 2 . Cambiamos la integral en función de u y operamos.
                    u = 4 x +1                                     x (    1)      u − 1  u
                                                                                   2
                                   2
                                 u −1                             ∫    x 4 +   dx =   ∫   u.  du
                     2
                           1
                               x
                    u = 4 x + ⇒=                                                   4   2
                                   4                                           1
                                                                                   (
                                                                                  2
                                                                                     2
                    2 udu = 4 dx                                                            = 8 8 ∫ uu − 1 du )
                    udu  =  dx                                                 1   4   2
                     2                                                                      = 8 ∫ (  u − )  u du
                   Paso 3. Integramos la expresión.              Paso 4. Regresamos a la variable original.
                   1  ( u − )    1 u   5  − u  + C               x (    1)    1 1  (     5  1  (  1) 3 
                                        3
                                                                                 
                           2
                          u du =
                       4
                                  
                   8 ∫           85    3                        ∫    x 4 +   dx =  8 5    x 4 + 1) −  3  x 4 +    + C
                                  
                                                                    1       2         1
                                                                  =   (  x 4 + 1) (  x 4 + 1) −  (4x  + ) (4x  + ) + C
                                                                                    −
                                                                                                    1
                                                                                             1
                                                                   40                 24
                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG
                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   115
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   115                                                                          21/8/25   12:53]]></page><page Index="12"><![CDATA[DUA
                       ó                                                                     Acción y expresión

                                                                            x
                                                                         ∫  x 2 +1 dx  =
               1. Integra por cambio de variable las siguientes              x 2 + x
                   expresiones.                                      b)   ∫  43x 2  − 2x 3  dx  =
                                                                           −
                                              x
                                                                            x
                   a)   ∫ (x f ( )dx  = ( )F x  + ,    c  ∀ ∈⎡a,b ⎤      ∫ ∫ 5x 2 7 +1 dx  =
                           x  + 2)  x dx =
                         3
                                                      ⎦
                                                  ⎣
                                                                                 =
                                                                               dx
                                                                            +1
                                                                          x
                                                                             x 2 + x
                                                                         ∫  43x 2  − 2x 3  dx  =
                                                                           −
                                                                            7
                                              x
                                = ( )F x
                   b)   ∫ (x f ( )dxxdx =  + ,    c  ∀ ∈⎡a,b ⎤       c)   ∫ 5x +1 dx  =
                           x  + 3)
                         2
                                                      ⎦
                                                  ⎣
                                                                            e  x
                                                                         ∫  e x  − 5  dx  =
                         f ( )dx  + 1
                                              x
                   c)   ∫ (2x 2 x √x 3  = ( )F x  + ,    c  ∀ ∈⎡a,b ⎤        2
                                  dx =
                                                      ⎦
                                                  ⎣
                                                                     d)   ∫  32x  dx  =
                                                                             +
                                                                            e x x
                                                                                 dx
                                                                         ∫ ∫ 5x e 2 x − 3 − 5 dx = =
                                                                            x
                                                                           e 2
                                                                             + 3
                                                                         ∫ ∫  x  dx dx = =
                                                                            + 3x
                                                                           32x
                           x
                                              x
                   d)   ∫ (x  + 8)    = ( )F x  + ,    c  ∀ ∈⎡a,b ⎤       e +
                         f ( )dxx dx =
                                                  ⎣
                                                      ⎦
                                                                     e)   ∫ 5x 2 x − 3 dx  =
                                                                           e x  + 3
                                                                         ∫  e x  + 3x  dx  =
                         √x + 2
                                              x
                                = ( )F x
                           x
                   e)   ∫  f ( )dx dx =  + ,    c  ∀ ∈⎡a,b ⎤
                                                  ⎣
                                                      ⎦
                           √x
                                                                 3. Encuentra las siguientes integrales por cambio de
                                                                     variable.
                                                                           x
                                                                     a)   ∫  x −2 dx  =
                                                                             1
                                              x
                         3
                   f)   ∫ x f ( )dx  = ( )F x dx = + ,    c  ∀ ∈⎡a,b ⎤   ∫  2x x  +7  dx  =
                                 3/2
                           x (3 – 2x )
                                                  ⎣
                                                      ⎦
                                                                         ∫  x  x −2 dx  =
                                                                         ∫ 2x 1  dx  =
                                                                            −3
                                                                     b)   ∫ 3x 2x x +5 +7  dx  =
                                                                         ∫ ∫  x x x − − 2 2 dx  = =
                                                                               dx
                                                                         ∫ 2x −3 dx  =
                                                                             1
               2. Resuelve las integrales por cambio de variable.        ∫ 3x 2x  dx  =
                                                                            +5 +7
                          x                                              ∫     dx  =
                   a)   ∫  x 2  +1 dx  =                             c)   ∫  x x  dx  =
                                                                            − 2
                           x 2  + x                                       2x −3
                                                                          3x
                                                                            +5
                       ∫ 43x 2 − 2x 3 dx  =                              ∫     dx  =
                          −
                          7                                                x − 2
                       ∫ 5x  +1 dx  =
                     Matemática
                     3.º BG
                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   116                                                                          21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   116]]></page><page Index="13"><![CDATA[Para las siguientes preguntas, selecciona la respuesta   Necesidades educativas
                  correcta.
                                                                         Si en su grupo hay un compañero con alguna dificultad
                               ∫
                  4.  La integral  5x + ) (  2 dx  , se puede resolver más   física, piensen en cómo pueden organizar el trabajo
                                       5
                      fácilmente usando.                                 para que todos participen activamente. Más que ayudar,
                                                                         se trata de colaborar con respeto y valorar lo que cada
                      a)   El binomio de Newton                          persona aporta. A veces, un pequeño gesto puede
                                                                         marcar una gran diferencia.
                      b)   Cambio de variable u = 5x
                      c)   Cambio de variable u = 5x + 2
                                                                        Actividad cooperativa
                      d)   No se puede integrar
                                                                     Reúnanse en grupos y resuelvan los siguientes
                  5.  La solución de la integral  ∫ (  2 2x 1) 2    dx es:  problemas.

                           −1                 x +                    9.  En un resorte no lineal, la fuerza que se requiere
                      a)      + C                                        para estirar el resorte una distancia x desde su posi-
                         x 2  +1                                         ción de equilibrio es:
                           (
                      b)  ln x + ) + C                                                Fx() = (  2    2
                             2
                                1
                                                                                            xx + ) 4
                                                                                           6
                           −2
                      c)       + C                                       Encuentren la  función de  trabajo  realizado  W(x)
                          x 2  +1                                        como una integral inde nida respecto de x.

                             1 
                      d) ln      + C
                             2
                             x + 1
                  6.  ¿Cuál es la técnica más recomendada para resolver
                      la integral    1    dx
                                xx
                                                                     10. El costo marginal de producir un bien está dado
                      a)   Regla directa
                                                                         por la expresión:
                      b)   Cambio de variable u = x 2                                Cx) = (     2   3
                                                                                       ’(
                                                                                            4
                                                                                             xx + ) 1
                      c)   Cambio de variable u =  x
                                                                         Donde x es el número de unidades producidas. Se
                      d)   Cambio de variable u =1/x                     desea encontrar el costo total como una integral

                                                                         inde nida de C’(x).
                                                     (
                                                    ∫
                                                            4
                  7. Si u = 3x + 2, entonces la integral  3x + 2)   dx es
                      igual a:
                          (  3x + 2)  5            ( 3x + 2) 5
                      a)          + C          c)          + C
                             15                       12
                         ( 3x + 2)                 ( 3x + 2) 3                        5 5
                                                                                   +1)
                                                                                ( (
                                                                                      ) dx =dx
                                                                              xx
                                                                                  3 3
                                                                               2 2
                                                                              xx +1
                                                                             ∫ ∫
                      b)         + C           d)          + C       11. Integra las siguientes expresiones:
                                                                                          =
                            5                         4                           6x 6x
                  8. Selecciona la integral que no requiere cambio de    a)   ∫ ∫ (10 3x ) ) 2 2  dx dx  = =
                                                                                     2 2
                                                                                 − −3x
                                                                              (10
                      variable para resolverse fácilmente.
                                                                                       2 2
                           6
                      a)   xdx                                           b)   ∫ ∫ ( a ( a − −  ) x) x  dx dx  = =
                           ( 5x + 2) 4                                             x x
                      b)   ∫  3    dx                                  Indaguemos     dx dx = =
                                                                                  3 3
                                                                                 x x
                                                                             ∫ ∫
                                                                                     4 4
                                                                                 4 4
                                                                                a
                                                                                  + x x
                                                                                a +
                      c)   4 ∫  x 3  dx                              12. Investiga. Existen integrales más complejas que
                          x + 1                                          las que hemos estudiado,  indaga cómo resolver
                      d) ( 7x + ) 6                                      una integral por la técnica ‘por partes’. Presenta un
                         ∫
                               2 dx
                                                                         ejemplo ilustrativo.
                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG
                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   117
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   117                                                                          21/8/25   12:53]]></page><page Index="14"><![CDATA[DUA
                    í      É     
    
                                                        Participación




                 Principios de la democracia

                 (según la Declaración Universal sobre la Democracia, 1997)




                      La democracia es reconocida
                      de manera universal. Mantiene
                      y promueve los derechos del
                      ser humano, sin importar sus                                   La democracia garantiza la paz
                      diferencias culturales, políticas,                             y el desarrollo económico, social y
                      sociales y económicas.                                         cultural, como condiciones mínimas.
                      Es un derecho fundamental que se
                      debe ejercer en libertad, igualdad,
                      transparencia y responsabilidad.


                                                       La democracia mantiene
                                                       y promueve la dignidad
                                                       y los derechos de las personas
                                                       y garantiza la justicia social
                                                       para promover la paz
                                                       internacional.




                                                                                 La democracia está vinculada con los
                    La democracia supone una auténtica                           derechos humanos, debe aplicarse de
                    asociación entre hombres y mujeres en                        modo efectivo y relacionarse con las
                    igualdad y complementariedad, para                           responsabilidades individuales
                    enriquecerse mutuamente.                                     y colectivas.








                                                           El estado de democracia
                                                           asegura la participación
                                                           popular  abierta, libre  y                                  ©Shutterstock
                                                           no discriminatoria.
                                                                                                                       ©Freepik




               Taller

               1.   Observen detenidamente la imagen sobre los principios de la democracia según la Declaración Universal de 1997.

               2.   Escriban un párrafo re exivo:

                   ¿Cómo pueden ustedes, como estudiantes, contribuir a fortalecer la democracia en su entorno?


                     Matemática
                     3.º BG





         Matematica 3 BG Cultiva.indb   118
                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   118                                                                          21/8/25   12:53]]></page><page Index="15"><![CDATA[ó                                                                         DUA
                     
      
                                                                     Participación



                    Ahorro futuro





                       El ahorro a futuro es un plan para acumular dinero                               5.  Posibles
                       con metas  nancieras futuras.                                                      retiros:

                       ¡Plani ca tus ahorros hoy!                                                      Algunos planes

                                                                                   4. Flexibilidad:   permiten retiros
                                                                 3. Tasa de        Ajusta o pausa       anticipados.
                           1. Plan                                interés:        tus aportaciones      ¡Consulta las
                       programado:                             Muchos bancos         según tus          condiciones!
                        Se establece          2. Plazos       ofrecen una tasa      necesidades.
                        un monto  jo          y metas:          de interés por    ¡Ahorra a tu ritmo!

                        que se debita     Elige el plazo y la   tu ahorro. ¡Haz
                        regularmente      meta que quieras     crecer tu dinero!
                        de tu cuenta.      alcanzar con tu
                      ¡Ahorras sin darte   ahorro. ¡De ne tu

                           cuenta!        futuro  nanciero!

                                                                                        El ahor
                                                                                                             e
                                                                                                          o t
                                                                                        El ahor r o a futur o t e
                                                                                                 o a futur
                                                                                                r
                                                                                        El ahorro a futuro te
                                                                                        mit
                                                                                    per
                                                                                                    car y alcanzar
                                                                                           e plani
                                                                                    per mit e plani        car y alcanzar
                                                                                    permite plani car y alcanzar
                                                                                        tus metas
                                                                                        tus metas  nancieras.
                                                                                                            as
                                                                                                    nancier
                                                                                        tus metas         nancier as . .
                                                                                             ¡Ahorra ya!
                                                                                             ¡A ¡A horr a y a!
                                                                                               horr
                                                                                                    a y
                                                                                                        a!
                                                                                      ¡Empieza ho
                                                                                      ¡Empieza ho
                                                                                                     y mismo!
                                                                                      ¡Empieza hoy mismo!
                                                                                                     y mismo!
                                          $
                                                        $    $                                     $
                                                                                                           $
                                                     $
                                                                                                      $
                   ©Freepik






                  Taller

                  Lee la información de la infografía y comenta con tus compañeros, ¿cuáles son tus metas a futuro?, ¿cuánto dinero
                  necesitas para hacerlas realidad?

                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   119                                                                          21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   119]]></page><page Index="16"><![CDATA[Integral de nida








                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      En un estacionamiento se cobra de la siguiente manera: las dos primeras horas $5
                                         por hora, de dos a cinco horas $3 por hora y después de la quinta hora $2 por hora.
                ¿Cómo se calcula el área
                 de una región irregular?  Una persona deja su automóvil estacionado durante tres días en las diferentes franjas
                                         horarias. ¿Cuál es el costo total que debe pagar?


               ©Shutterstock              Pienso y progreso
                                          ¿Cuánto cobran en tu ciudad, en contexto real, por uso de estacionamiento?


                                         U  nidad de conocimientos


                                         La integral de nida de una función y = f(x) en un intervalo cerrado [a, b] geométri-
                                         camente representa el área limitada por la grá ca de la función, el eje x y las rectas

               Una función por partes ayuda   verticales x = a y x = b. Se denota como:
               a determinar el costo de
               los estacionamientos.       fx dx                                     y
                                            ()
                                         Donde:                                                      y = f(x)
                                         a es el límite inferior de integración.        x = a
                                                                                                  S        x = b
                                         b es el límite superior.
                         Matemática                                                 0      a             b       x
                                         f(x) es la función integrando.
                   • El símbolo   tiene la   dx indica la variable de integración.
                      forma de la letra S


                   mayúscula estirada y   Esta integral es una suma continua de in nitos sumando in nitesimales pequeños,
                  denota o indica suma;   que se relacionan con la sumatoria de Riemann y que se estudian en cursos más
                el símbolo  f(x dx se lee:  avanzados.
                 “integral de f(x) de x = a
                  hasta x = b” o también,   Propiedades de la integral definida
                 “integral de f(x) sobre el
                        intervalo [a, b]”.  Si f(x) es una función continua e integrable en el intervalo [a, b], entonces cumple con
                  • En la integral definida  las siguientes propiedades.
                  se deben observar los   1.  Toda integral de nida es un número real.    fx dx()  = número real

                  siguientes elementos:
                                         2.  Al cambiar los límites de integración cam-  b          a
                                                                                           ()
                                                                                                      ()
                límite superior                                                         ∫  fx dx =− ∫  fx dx
                 de la integral             bia el signo de la integral.                a          b
                            la función es
                            el integrando  3.  Si los límites de integración son iguales  ∫ a fx dx = 0
                                                                                           ()
                    ∫  f(x)dx            4. Si  c ∈[ ,                                   b        c         b
              signo de  b                   la integral es cero.                        a
              integral
                                                   a b], la integral se puede descom-
                                                                                           ()
                                                                                                    ()
                                                                                                              ()
                      a                     poner en la suma de dos integrales.         ∫ a fx dx = ∫ a  fx dx + ∫ c  fx dx
                            x es la variable
                            de integración  5.  La integral de una constante por una     b          b
                                                                                           ()
                                                                                                      ()
                  límite inferior                                                       ∫  kf xdx = k ∫  fx dx
                  de la integral            función es la constante por la integral.    a           a
                                         6.  Si la función es impar y los extremos de    a
                                                                                           ()
                        Se lee: “integral   la integral son iguales y con signos        ∫ − a fx dx = 0
                   de f desde a hasta b”.   contrarios, la integral es cero.
                                         7.  Si la función es par y los extremos de la inte-  ∫ a  fx dx = 2 ∫ a fx dx
                                                                                                      ()
                                                                                           ()
                                            gral son iguales y con signos contrarios.   − a         0
                     Matemática
                     3.º BG
                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   120                                                                          21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   120]]></page><page Index="17"><![CDATA[Teorema fundamental del cálculo. Conocido como la regla de Barrow o segundo
                  teorema fundamental del cálculo, dice que si F es una antiderivada o primitiva de f en
                  el intervalo [a, b], entonces la integral de nida se puede calcular como:

                                                        b
                                          ∫ a b fx dx = Fx() = Fb()− Fa() .
                                             ()
                                                        a
                   Signi ca que, para calcular el área bajo la curva, basta con evaluar la antiderivada en   Educación


                  los extremos del intervalo y restar.                                                 nanciera
                                                                                                 El costo del
                  A  cción y expresión                                                           estacionamiento puede
                                                                                                 variar significativamente
                  Ejemplos paso a paso                                                           a lo largo del día. Planificar
                                                                                                 cuándo y dónde

                  1.  Para resolver el problema inicial emplearemos la integral de nida.         estacionar puede marcar

                   Paso 1. De nimos la función por partes.  Paso 2. Calculamos el costo total como la   la diferencia en el
                                                                                                 presupuesto mensual.
                        5      si 0  ≤< 2             integral en los diferentes intervalos.    Aprovechar tarifas más
                                 t

                        
                   ft() =  3     si   2  ≤< 5         C =  7 f tdt = 5 dt + 3 dt + 2 dt         bajas durante las horas
                                 t
                                                                   2
                                                                               7
                                                                         5
                                                             ()
                                                         ∫ 0     ∫ 0   ∫ 2   ∫ 5                menos concurridas o
                                 t 7
                         2     si   5 ≤≤                                                        explorar opciones de

                   Paso 3. Calculamos cada integral de nida  Paso 4. Para determinar el costo total,   estacionamiento gratuito
                   por separado.                       sumamos los resultados del paso 3.        puede ayudar a optimizar
                                                                                                 nuestros recursos.
                    2
                    0 ∫  5dt = 5t = (  −  10           C =  ∫ 0 7 f tdt = 5 dt + 3 dt + 2 dt
                                                                         5
                                                                               7
                                                                   2
                           2
                              52 0) =
                                                             ()
                           0
                                                                              ∫ 5
                                                                  ∫ 0
                                                                        ∫ 2
                           5
                    2 ∫ 5 3dt = 3t = (  −  9           C =  ∫ 0 7 f tdt =10 94 23
                              35 2) =
                                                             ()
                                                                    ++ =
                           2
                    5 ∫ 7 2dt = 2t = (  −              Debe pagar $23 por el uso de parqueadero.
                           7
                              27 5)) = 4
                           5
                                                                        2 x +1 0     ≤  x ≤ 2
                                                                              ,
                  2.  Vamos a calcular el área bajo la curva de la función fx () = 
                                                                                   x
                                                                          , 2           2 <≤ 5

                   Paso 1. Gra camos la función e      Paso 2. Calculamos el área bajo la función                      ©Shutterstock
                   interpretamos.                      por partes como la suma de integrales.
                                                                                                 ¿En qué otras actividades
                                                                            5
                          y                             5 fx dx = (  2  x + )2  1  dx + 2 dx
                                                          ()
                             f(x) = 2x + 1,  (0 ≤ x ≤ 2)  ∫                                      puedes procurar ahorrar?
                          5                                     ∫ 0  0     ∫ 2
                                                        2           2   2
                                                                                −
                          4                              (  x + )2  1  dx ( =  x + x ) = (  + )4 2 (  + 0 0 = 6
                                                       ∫ 0              0
                          3                             5       5
                                                                   25
                                                                        22
                                                                                − =
                          2                            ∫ 2 2dx  = 2x  2  = () − () =10 46
                                                        5
                                                          ()
                                                                66
                          1                              fx dx  = + =12
                                                       ∫ 0
                     –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  7  8  x
                                                                            2

                  3.  Sea la región limitada por la grá ca de la función: fx () = 4 x − x  y el eje x,
                      encontremos la integral que permite calcular el área de la región.
                                      y                             •  Encontramos los cortes de la función con el eje x.
                                      5                                     2
                                                                                      −
                                                                                            ;
                                                                                   x

                                                                                                   y

                                         f(x) = 4x −x 2                4x − x = 0 ⇒ ( 4 x) = 0 x = 0 x =  4
                                      4
                                      3                             •  El intervalo de la región es [0, 4].

                                      2                             •  La integral de nida es:
                                      1                                 4      2        1  3   4    64   40
                                                                        0 ∫  ( 4x − )   2x −  x    =  8 −   −=
                                                                              x dx =
                                                                                                         0
                        –5  –4 –3  –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  7  8  x                   3     0    3     3
                                     –1
                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG
                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   121                                                                          21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   121]]></page><page Index="18"><![CDATA[DUA
                       ó                                                                     Acción y expresión




               1. Calcula la integral de nida que se propone       2. Evalúa la siguiente integral empleando propiedades.

                       5                                               3  − ( x 2  + x4  − ) dx3
                   a)   xdx =                                         ∫ 1
                       1                                               3  2   26    3         3
                                                                      ∫ 1  xdx =  3  ,   ∫ 1  xdx = 4,   ∫ 1  dx = 2


                       2
                   b)   (2 + x)dx =
                       0




                       3
                   c)        x    dx =
                       2 x  – 1
                                                                   3. Dibuja la región correspondiente a cada integral
                                                                      de nida. Luego, plantea y resuelve la integral que

                                                                      permite calcular el área.
                       1                                                                     y
                   d)   (3x  – x  + x – 1)dx =                        a)   4 3dx              3
                      –1                                                  1
                                                                                              2
                                                                                              1

                                                                                        –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  x
                                                                                             –1
                       –1
                   e)       dx       =
                      –2 (x – 1)

                                                                                             y
                                                                      b)   ∫ 1 4 ( x + ) 1  dx  4
                       3     dx                                                               3
                   f)         =                                                               2
                       0 √ 1 + x                                                              1
                                                                                        –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  x



                       1
                   g)   (x + 2x  – x   + 5x )dx =
                      –1                                              c)   ∫ 2  4 − xdx            y 3
                                                                                  2
                                                                           −
                                                                           2
                                                                                                   2
                                                                                                   1
                       2                                                                –4  –3 –2 –1 0  1  2  3  4  x
                                                                                                  –1
                   h)   (x – 5)dx =
                       1





                     Matemática
                     3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   122
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   122                                                                          21/8/25   12:53]]></page><page Index="19"><![CDATA[Para las siguientes preguntas selecciona la respuesta   9.  Dadas las integrales:  fx dx()  = 4  y   ∫ 6 fx dx = −1   .
                                                                                            3
                                                                                           ∫
                                                                                                            ()
                  correcta.                                              Halla:             0             3

                  4.  ¿Cuál es el signi cado geométrico de la integral   a)   ∫ 6 fx dx = _____________
                                                                                      3
                                                                               ()
                                                   ,
                      de  nida  fx dx()  cuando fx() ≥ 0   ab , [  ]         0 3
                                                                               ()
                      a)   La longitud de la curva F(x).                 b)   ∫ 6  fx dx 1= _____________
                      b)   El área bajo la curva f(x) sobre el eje x en el inter-  c)   ∫ 3 fx dx = _____________
                                                                                      0
                                                                               ()
                         valo entre a y b.                                   3 6
                                                                         d)   ∫  −5fx dx  = 5 _____________
                                                                                 ()
                      c)   El volumen generado al rotar f(x) sobre el eje x.  3
                      d)   La pendiente de la recta tangente a f(x).
                                                                       Necesidades educativas
                  5. Si F’(x) = f(x), de acuerdo con el teorema fundamen-
                      tal del cálculo se dice que:                       Trabajar en equipo significa reconocer que cada persona
                                                                         aporta algo valioso, más allá de lo que puede ver o hacer
                      a)   ∫ a b fx dx = Fb ’( )− Fa()                   físicamente. Cuando colaboras con un compañero con
                            ()
                                          ’
                                                                         discapacidad visual, no solo compartes tareas, compartes
                      b)   ∫ a b fx dx = fb () − fa()                    empatía, comunicación y respeto.
                            ()
                      c)   ∫ a b fx dx = Fb () − Fa ()                  Actividad cooperativa
                            ( )
                                   d
                      d)   ∫ a b fx dx =  dx  Fx()                   Reúnanse en grupos y resuelvan el siguiente problema.
                            ()
                                                                     10. A diferentes alturas en la atmósfera de la  Tierra,
                                              a                          el sonido viaja a distintas velocidades, la velocidad
                                                ()
                  6.  ¿Cuál es el resultado de   fx dx para cualquier    del sonido s(x) en metros por segundo puede mo-
                      función continua f?     a                          delarse mediante:
                      a)  f(a)                                                  −  x +4  341 ,           0 ≤<  ,
                                                                                                 x 115
                      b)  af(a)                                                 295 ,                    11,5 ≤< 22
                                                                                                5 x
                      c)  F(a)                                                  3  x  +            22 ≤ 278 5 ,;  x  < 32
                      d)  0                                               sx () = 4
                                                                                3 x +             32 ≤ 254 5 ,;  x  < 50

                  7.  ¿Cuál es el resultado de  ∫ − a a xdx?                    2
                                              3
                                                                                  3
                      a)  2a 4                                                  −3  x +  404 5 ,;      50 ≤  x ≤ 80
                                                                                 2
                      b)  a 4                                            Donde x es la altura en kilómetros. ¿Cuál es la velo-
                      c)  –a 4                                           cidad media del sonido sobre el intervalo [0, 80]?

                      d)  0
                                         5
                                        ∫
                                                          ()
                  8.  Dadas las integrales:  fx dx()  =10  y   ∫ 7 fx dx = 3   .
                      Halla:             0              5
                            ()
                      a)   ∫ 0 7 fx dx 13= _____________
                      b)   ∫ 5 0 fx dx = − _____________               Indaguemos
                                    10
                            ()
                      c)   ∫ 5 5 fx dx = _____________               11. Investiga. Las sumatorias de Riemann son el prin-
                                  0
                            ()
                                                                         cipio fundamental para determinar la integral
                      d)   ∫ 0 5 3fx dx()  =  30 _____________           de  nida;,  indaga sobre este tema y  realiza una
                                                                         exposición en clases.
                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   123                                                                          21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   123]]></page><page Index="20"><![CDATA[DUA
                   	  
 á                                                                    Participación


                 Rutina de pensamiento: ‘Analiza, modela y toma decisiones’


               Contexto: costo de envío según el peso


               Las empresas cobran diferentes valores por el costo de envío
               de paquetes debido a diferentes factores, como la distancia
               recorrida, el peso y tamaño del paquete, el tipo de servicio,
               además de los costos operativos y gastos administrativos;

               todo ello in uye en cómo se estructuran y presentan las tari-
               fas de envío al consumidor  nal.

                          El costo de envío de paquetes es una función por partes.                                  ©Shutterstock


                 Fases de la rutina
               1.  Analiza. Problema: ¿qué está pasando?
               Una empresa que se dedica al envío de paquetes tiene un cobro escalonado por kilogramos, así:
               •   $10 por kilogramo por         •   $7 por kilogramo desde 2 kg   •   $5 por kilogramo para
                   los primeros 2 kg.                hasta 5 kg.                       cualquier peso adicional.
               Pedro desea enviar tres paquetes al extranjero, uno de 1,5 kg, otro de 4 kg y el último de 6 kg. ¿Cuánto deberá pagar
               en total por todo el envío?
               a)  ¿Qué se requiere hacer para solucionar el problema?  b)  ¿Qué estrategia se debe emplear?
                   Se requiere construir una función por partes.      Emplear la integral de nida en cada intervalo.

               2.  Modela. Paso a paso

               a)  De nimos la función por partes.        c)  Gra camos e interpretamos los resultados. Usamos GeoGebra.

                         10       0 ≤< 2                                  y
                                    x
                              si
                         
                   fx () =  7     si  2 ≤< 5                             14
                                   x
                                                                         12
                                   x
                          5     si  5 ≤≤ 6                               10  f(x) = 10
               b)  Expresamos el costo total como la inte-                 8       f(x) = 7
                   gral en los diferentes intervalos.                      6               f(x) = 5
                                         5
                                                6
                                               ∫
                                        ∫
                   C = ∫ 0 6 f xdx =()  ∫ 0 2 10 dx + 7 dx + 5 dx          4
                                               5
                                         2
                   ∫ 0 2 10dx = 10x = (  −  20                  –4 –3  –2 –1 0 2  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 x
                               2
                                  10 20) =
                               0
                             5
                   ∫ 2 5 7dx = 7x = (  −  21                              –2
                                75 2) =
                             2

                   ∫ 5 6 5dx = 5x = (    5                    La integral de nida representa el área bajo la curva, en este
                             6
                                5 665− ) =
                             5
                                                              caso el costo del envío de cada paquete de acuerdo con el
                   Costo total: $20 + $21 + $5 = $46          peso.
               3.  Toma decisiones. Propón estrategias
               •   ¿Te parece justo que se cobre más por los primeros   •   ¿Crees que las empresas deben explicar a sus clien-
                   kilogramos que por los siguientes?                 tes, el porqué de los costos en sus envíos?
                   No parece completamente justo, porque los prime-     Sí, el consumidor tiene derecho a una explicación.
                   ros kilogramos tienen un costo muy alto, mientras
                   que los siguientes bajan de precio.
                     Matemática
                     3.º BG



                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   124                                                                          21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   124]]></page><page Index="21"><![CDATA[Contexto: consumo de energía por horas

                  El consumo de energía de una máquina que trabaja a distintas tasas

                  durante el día signi ca que no siempre está usando la misma can-
                  tidad de electricidad por hora. En este caso, las tasas de consumo
                  (en kWh/h, es decir kilovatios-hora por hora) cambian según el mo-
                  mento del día, como si la máquina trabajara más intensamente en
                  algunos periodos y menos en otros.                                                                   ©Shutterstock

                          El consumo de energía en diferentes horas es una función por partes.

                    Fases de la rutina
                  1.  Analiza. Problema: ¿qué está pasando?
                  Una máquina consume energía a distintas tasas durante el día, así por ejemplo

                  •   De 0 a 4 horas consume        •   De 4 a 8 horas consume        •   De 8 a 10 horas consume
                      2 kWh/h.                          4 kWh/h.                          1 kWh/h.
                  ¿Cuánta energía en total consume en las 10 primeras horas?

                  a)  ¿Qué se requiere hacer para solucionar el problema?
                      __________________________________________________________________________________________________________

                  b) ¿Qué estrategia debes emplear?
                      __________________________________________________________________________________________________________

                  2.  Modela. Paso a paso


                  a)  De nimos la función por partes.        c)  Gra camos e interpretamos los resultados. Usamos GeoGebra.
                                                                         y
                                                                         7
                                                                         6
                                                                         5
                                                                         4
                  b)  Calculamos el consumo como una inte-

                      gral de nida por partes.                           3
                                                                         2
                                                                         1
                                                                    –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 x
                                                                        –1
                                                                        –2

                                                                 __________________________________________________________

                      Energía total: _________                   __________________________________________________________
                  3.  Toma decisiones. Propón estrategias
                  •   ¿A qué hora del día te parece que existe un consumo más alto de energía?

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________
                  •   Desde tu ámbito, ¿cómo puedes ahorrar energía? _________________________________________________________


                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   125
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   125                                                                          21/8/25   12:53]]></page><page Index="22"><![CDATA[Área de  guras planas y el eje x








                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      Una comunidad está monitoreando el consumo de agua durante el día. Determinan
                                         que el consumo de agua en miles de litros por hora está dado por la función:
                     ¿Puede un área ser
                                                   2
                                                 ,
                            negativa?    ft() =−02 t + 2 t +1
                                         Donde: t es tiempo en horas que va de 0 a 12 horas.

               ©Shutterstock             ¿Cuántos miles de litros de agua se consumieron en total durante ese período?
                                          Pienso y progreso
                                          ¿Sabes cómo se monitorea el agua de riego en las comunidades?, explica.


                                         U  nidad de conocimientos


                                         La integral de nida   fx dx  permite   y
                                                               ()
                                         calcular el área de la región R limitada    f(x)
                                         por la función f positiva y continúa en
                Para el riego en campos se   [a, b], el eje OX y las rectas x = a y x = b.
                emplean las matemáticas.
                                         A las regiones que están sobre el eje OX
                                         se les asignan valores positivos, mien-  a        c           d        b  x
                                         tras  si se encuentran por debajo del eje
                                         OX, la integral tendrá valores negativos.

                                         ∫ b fx dx = ∫ c fx dx − ∫ d fx dx + ∫ b fx dx
                                                     ()
                                                                        ()
                                            ()
                                                               ()
                       Desarrollo         a        a        c         d
                        sostenible       • Si la curva está por encima del eje OX en el intervalo [a, b], la integral de nida da

                                            un valor positivo, que corresponde al área.
                    El agua necesita ser
                tratada para el consumo   •  Si la curva está por debajo del eje OX, la integral da un valor negativo, porque
               humano. El tratamiento se    la función f(x) es negativa en ese intervalo. En este caso, el área real es el valor
                   hace en instalaciones    absoluto de la integral.
                      centralizadas que
                necesitan controlar flujos
                    de agua, volumen y   A  cción y expresión
                  tiempo de circulación.   Ejemplos paso a paso
                Estos cálculos se llevan a
                   cabo por medio de la   1.  Para resolver el problema inicial emplearemos la integral de nida.

                    matémática y de sus
                      herramientas (por   Paso 1. Gra camos la función,   Paso 2. La grá ca está sobre el eje OX y una parte


                     ejemplo, el cálculo
                             integral).  usamos GeoGebra.               bajo el eje OX. Debemos calcular dos integrales.
                                              y                         Encontramos el punto de corte de la curva con el
                                              6                         eje OX.
               ©Shutterstock                  4  f    A1                −   2  +02 , t  2t  += ⇒=105
                                                                                     0
                                                                                        t
                                                                                  1
                                                                                             ,
                                              2
                                                                               A
                                                                            A
                                                              A2        At  = 1 + 2
                                                               12
                                            –2 0  2  4  6  8 10 12 14 x      10 5 ,              12
                                                               12
                                                                                          ) 02t
                                             –2                         At  =   − (  2  + ,  + 2t  1 dt  +− (  −02 , t +  t 2  t 2 +  1  dt )
                                                                            ∫ 0                  10 5 ∫ ,
                                         El área bajo la curva representa el    − 02 ,  3  2    10 5 ,   − 02 ,  3  2   12
                   Indaga y escribe otras   volumen total de agua consumida   =   3  t +  t +  t   –     3  t +  t +  t 
                      aplicaciones de las   en 12 horas.                              0               10 5,
                integrales en la vida diaria.                           = 43,575 + 2,775 = 46,35
                     Matemática
                     3.º BG

                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   126
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   126                                                                          21/8/25   12:53]]></page><page Index="23"><![CDATA[2.  Hallemos el área delimitada por la curva  y =  x − 6 x + 8  y el eje OX.
                                                              3
                                                                   2
                                                                       x
                   Paso 1. Encontramos los puntos de corte de la curva con  Paso 2. Gra camos la función.

                   el eje OX.                                                           y
                   y =  x − 6 x + 8 x                                                   3
                            2
                       3
                    3
                         2
                   x − 6 x + 8 x = 0                                                    2  A1 1 1 1 1 1
                                                                                           A A A
                    (
                             8
                      2
                   xx − 6 x + ) = 0                                                     1
                   xx − )( x − ) =2  0                                       –4 –3  –2 –1 0  1  2 2 2 2 2 2  3  4 4 4 4 4  5  6  7  8  x
                    (
                        4
                                                                                       –1
                   x = 0,   x = 4,   x = 2                                             –2 2 2 2   A2
                   Los intervalos de integración son: [0, 2] y [2, 4]                  –3 3 3
                   Paso 3. Encontramos una primitiva de f(x).       Paso 4. Hallamos las integrales de nidas por separado.

                                                                                                         2
                                                                             3
                                                                                              4
                   ∫ ( x −  x 6  2  + 8 xdx )  =  1 x −  x 2  3 +  x 4  2  A1 =  0 ∫ 2 ( x −  x 6  2  +  8 xdx )  =     1 x −  x 2  3  +  x 4  2   0   =  4
                      3
                                      4
                                                                                            4
                                    4
                                                                                                           4
                                                                     A2 = – ( x −  x 6  2 +  8 xdx )  = –      1 x x −  x 2  3 +  x 4  2   2   =− (–4) = 4
                                                                           4
                                                                          2 ∫
                                                                             3
                                                                                                4
                                                                                             4
                                                                     At =  A1+  A2 = 4 + 4 = 8
                  3.  Hallamos el área encerrada por las funciones:
                                                                      4
                      a) fx() = 25 − x 2                     b) fx() =  x − 4 x 3
                         Puntos de corte con el eje OX.        Puntos de corte con el eje OX.
                                                                 4
                         25− x 2  = 0                           x −  x 4  3  = 0
                         ( 5− )( 5+ ) = 0                       x ( x 4) =  0                         Desarrollo
                                   x
                                                                    −
                                                                 3
                             x
                         x  = 5 x;   = − 5                      x = 0;  x = 4                         sostenible
                         Intervalo [–5, 5]                      Intervalo [0, 4]                 El cuidado del agua es
                                                                                                 fundamental para
                                                                                                 garantizar un desarrollo

                      •   Gra camos la función              •   Gra camos la función             sostenible. Este recurso,

                                                                                                 vital para la vida, no solo
                                   y                                y
                                  25
                                  25
                                  25                               50                            es esencial para el
                                  25
                                  25
                                                                                                 consumo humano, sino
                                  20                               40                            también para la
                                  15                               30                            agricultura, la industria
                                  10                               20                            y la preservación de
                                                                                                 los ecosistemas.
                                   5                               10
                     – –5  –4 –3  –2 –1 0  1  2  3  4  5 5 5 5  x  –3  –2 –1 0  1 1 1 1 1 1 1  2 2 2 2  3 3 3 3  4 4  5  6  7  x
                                  –5                              –10
                                 –10                              –20
                      •   La función propuesta es una       •   La función se encuentra bajo el
                         función par; es simétrica al eje y,   eje OX, calculamos el área.
                         entonces el área es:                    4
                                                                    4
                                                                         3
                                                               – 0 ∫  ( x −  4 x dx )  =                               ©Shutterstock
                                         5
                         ∫ 5 5 −  ( 25− )  2 = ( 25− ) dx  =   = –   1 x −  x 4  4  = –  − 256  =+512
                                        ∫
                                               2
                                 2
                                xdx
                                              x
                                         0
                                                                      5
                                                                                          ,
                                 1  3   5  500                     5   0      5              ¿De qué manera tus
                                                                                                 hábitos diarios contribuyen
                         = 225 − x      =    = 166 67                                           a la conservación del agua?
                                                  ,
                               x
                            
                                 3     0  3                   El área es negativa porque la re-
                                                               gión se encuentra bajo el eje OX.
                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG
                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   127
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   127                                                                          21/8/25   12:53]]></page><page Index="24"><![CDATA[DUA
                       ó                                                                     Acción y expresión




               1. Calcula el área de la región R, encerrada por la rec-  4. Calcula el área de la región R, en el primer cuadran-

                   ta y = x + 1, el eje x y las rectas x = 1 y x = 2. Gra ca.  te acotada por la curva f(x) = x√x  + 5, el eje de las x
                                                                      y la recta x = 2, luego gra ca.

                           y
                           3                                                           y
                                                                                       6
                           2                                                           5
                                                                                       4
                           1                                                           3
                                                                                       2
                      –1   0      1     2    3     4    5     x                        1
                                                                         –5  –4  –3  –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  7  8  x





               2. Encuentra el área de la región R, encerrada por la
                   curva f(x) = x  + 1, el eje de las x y las rectas x = 0,  5. Encuentra el área de la región R, encerrada por la
                              2
                                                                                      2
                                                                                 3

                   x = 1, luego gra ca.                               curva f(x) = x  – 2x  – 5x + 6, en el intervalo [–2, 1],

                                                                      gra ca.
                                   y
                                    6                                                  y
                                    5
                                                                                      10
                                    4
                                                                                       8
                                    3
                                                                                       6
                                    2
                                                                                       4
                                    1
                                                                                       2
                      –5  –4  –3  –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  7  8  x
                                                                        –10  –8  –6  –4 –2 0  2  4  6  8 10 12 14 16 x



               3. Encuentra el área de la región R, encerrada por la   6. Encuentra el área de la región R, encerrada por la
                   curva f(x) = x  – x, el eje de las x y las rectas x = –1    curva f(x) = e , en el intervalo [0, 1], gra  ca.
                              2
                                                                                 2x

                   y x = 0, luego gra ca.
                                                                                       y
                                      y
                                       3
                                                                                      10
                                                                                       8
                                       2
                                                                                       6
                                                                                       4
                                       1
                                                                                       2
                                                                         –5  –4  –3  –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  7  8  x
                      –3    –2   –1   0      1     2     3    x







                     Matemática
                     3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   128                                                                          21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   128]]></page><page Index="25"><![CDATA[7. Plantea una integral de nida y calcula el área    Necesidades educativas


                      sombreada, veri ca con fórmulas de geometría.
                                                                         Van a tener la oportunidad de trabajar con compañeros
                      a)            y                                    que tienen necesidades especiales; por ejemplo de
                                    1
                                                                         movilidad, y eso es algo muy valioso. Más que una tarea,
                            –3  –2 –1 0  1 1 1 1  2 2 2 2  3 3 3 3  4 4 4  5  6  7  8  9  x  es una experiencia humana que puede transformar
                                   –1                                    la forma en que vemos el mundo.
                                   –2
                                   –3                                   Actividad cooperativa
                                   –4
                                         f : y = −4                  Reúnanse en grupos y resuelvan la siguiente
                                                                     actividad.
                                                                     8.  Dada la grá ca, calculen las siguientes integrales,

                                                                         recuerden que una integral de nida representa

                                                                         el área bajo la curva.
                      b)         y                                                           y
                                 5
                                                                                             5
                                 4
                                                                                             4
                                 3
                                       f : y = 5 − 2,5 x                                     3
                                 2                                                                      (4, 2)
                                                                                             2
                                 1
                                                                                             1
                            –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 x
                                                                            –6  –5  –4 –3  –2 –1 0  1  2 2 2 2  3  4  5  6  7  x
                                                                                     –
                                                                                     –3
                                                                                        2 2 2
                                                                                            –1
                                                                                (–4, –1)
                                                                              2             –2 2 2
                                                                                 )
                                                                          a)   2 ∫  f xdx = −   –3
                                                                               (
                                                                               (
                                                                                 )
                                                                          a)   2 ∫ 0  f xdx = −   –4
                                                                          a)   0 2 ∫  f xdx = −   –5
                                                                                 )
                                                                               (
                                                                               f
                                                                                    =
                                                                               ( ) xdx( )
                      c)                  y                               a)  b)   0 6 2 ∫ ∫  f xdx = −  4
                                                                                     =
                                                                               ( ) xdx( )
                                                                               f
                                         4                                a)  b)   06 2 2 ∫ 6 ∫  f xdx = −  4
                                                                          b
                                                                                 )
                                                                                    = 4
                                                                               (
                                                                               (xdx)
                                                                                      __________
                                         3 3 3 3                         a)  a)  f)  ∫ 6 ∫ 0 2 f xdx = −
                                                 f : y = 4 − |x|             0 22
                                                                               ( ) xdx( )
                                                                               f
                                                                                        (12
                                         2 2 2                            b)  c)   6 ∫ ∫  f xdx = 4 = −+ )
                                                                             22 −4
                                                                                     = −+
                                                                               f
                                                                                        (12
                                         1 1 1 1                         b)  b)  c)   6 ∫ 2 ∫  f xdx( ) xdx( )  = 4 __________ )
                                                                          c)  ∫ 2 ∫ 2 −4 f xdx = 4 −+ )
                                                                                    = (12
                                                                          b)
                                                                               ( f xdx( )
                                                                                 )
                            –5  –4  –3  –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  7  x      2 −4 6
                                                                                     = −+ )   )
                                                                         c)  c)  d)   2 ∫∫  f xdx) xd( ) x = (32
                                                                               ( f
                                                                                   x
                                                                                        (12
                                                                                         +
                                                                                      __________
                                                                             −4 6 −4
                                                                                        (12
                                                                                    x
                                                                          c)  d)  −4 ∫  f xdx = −+ )   )
                                                                                 )) x = (32
                                                                               ( f xd(
                                                                                         +
                                                                                        +
                                                                                 )
                                                                          c)
                                                                               (
                                                                         d)  d)  ∫ 2 ∫ 6 −4 f xdx = −+ )   )
                                                                               ( f xd) x = (32
                                                                                        (12
                                                                                   x
                                                                                       __________
                                                                             −4
                                                                                         + ) )
                                                                            ∫∫
                                                                                  )
                                                                                   x
                                                                                          +
                                                                          d)  e)  ∫ 6 −4 6 f xdx = (32
                                                                                ( f xdx = (52 ( )
                                                                                         + ) )
                                                                                   x
                                                                                  )
                                                                         e)   ∫∫ 6 −4 6 −4 f xdx = (32
                                                                                          +
                                                                                ( f xdx = (52 ( )
                                                                          d)  e)
                                                                                        __________
                                                                                         + ))
                                                                                         +
                                                                          d)
                                                                                   x
                                                                                  )
                                                                                ( f xdx = (52 ( )
                      d)                     y                            e)  ∫ ∫ 6 −4 6 −4 f xdx = (32
                                            1                             e)   −4 6 −4 6 f xdx = (52 ( )  + )
                                                                             ∫
                                                                                               + )
                                                                              6 −4 f x + ) 2)
                                                                                             __________
                                               f : y = x  − 4            f)  f )   ∫ ( (  dx = (92
                                                    2
                                                                                         + )
                                                                               f xdx = (52 ( )
                                                                              6 −4
                                                                             ∫
                                                                                               + )
                                        2
                                                                              6 −4 f x + ) 2
                                        2
                                        2 –1
                            –6  –5  –4  –3  –2 –1 0 02  1  1 1 1  2 2 2 2 2  3  4  5  6  x  e)   ∫ ( ( )  dx = (92
                                           1
                                                                          f )
                                            – – –
                                            –1 1 1 1                          6 −4
                                                                          e)
                                                                               f xdx = (52 ( )
                                                                                         + ) + )
                                                                              −4 ∫
                                                                               ( ( )
                                                                          f )   ∫ f x + ) 2  dx = (92
                                                                              6 −4
                                            – – –2 2 2 2 2             Indaguemos      dx = (92
                                                                                              + )
                                                                             ∫
                                                                               ( ( )
                                                                          f )
                                                                                f x + ) 2
                                            – – –3 3 3                        6 −4            + )
                                                                             ∫
                                                                                       dx = (92
                                                                                f x + ) 2
                                                                               ( ( )
                                                                          f )

                                                                     9. Investiga. Si la integral de nida representa el área
                                            –4 4 4 4 4                        6 −4            + )
                                                                             ∫
                                                                                       dx = (92
                                                                                f x + ) 2
                                                                               ( ( )
                                                                          f )
                                                                         encerrada bajo una curva el eje OX y las rectas
                                                                             −4
                                                                         x = a y x = b, indaga si con  guras básicas, rectán-

                                                                         gulo, cuadrado, triángulo, círculo se puede plantear
                                                                         una integral para calcular esas áreas. Expresa tus re-
                                                                         sultados a través de una presentación creada con IA.
                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG
                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   129
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   129                                                                          21/8/25   12:53]]></page><page Index="26"><![CDATA[DUA
                                                 Textos y lecturas
                                                 desde la Internet                            Participación


               Tres magní cos descubrimientos de adolescentes




               “En la era de la información, ya no existen edades para
               alcanzar el éxito. Y como muestra de esto, están los
               nuevos genios de esta generación milenial, genios
               como Mark Zuckerberg, creador de Facebook; Matt Mu-
               llenweg, fundador de Automattic y WordPress; o Spiegel,
               Bobby Murphy y Reggy Brown, creadores de Snapchat;                                                   ©Shutterstock
               y una larga lista de jóvenes que, muchas veces, antes de
               los 20 años ya entregaron un gran aporte al mundo de
               la ciencia, la tecnología y las telecomunicaciones.  Desechos industriales en las playas de Indonesia.
               Tal como ellos y aunque no sean igual de mediáticos, existen también adolescentes que se han destacado con
               descubrimientos que engrandecen a la ciencia, con inventiva práctica. Sus inventos son soluciones para la salud

               y el medioambiente, aprovechando la tecnología para estos  nes.
               Hoy compartimos contigo tres de los que más nos han sorprendido:


               1. Boyan Slat y The Ocean Clean Up
                   Se ha preocupado, desde niño, por el medioambiente y su futuro, creó un superdispositivo que puede limpiar
                   los plásticos y deshechos de los océanos. ¡Así es, un joven holandés que se preocupó por lo que a muchos no
                   les interesa! Su compañía, The Ocean Clean Up, tiene sede en San Francisco y está desarrollando pilotos que,
                   en pocos meses, ya han retirado toneladas de basura de los mares.

                                                                   2.  Luis Cruz y el Eyeboard

                                                                   Al joven hondureño Luis Cruz le preocupaba que las
                                                                   personas con problemas motores no pudieran comu-
                                                                   nicarse efectivamente de manera escrita y, por eso,
                                                                   creó el Eyeboard, un sistema informático de meca-
                                                                   nografía que se controla a través del movimiento de
               ©Shutterstock                                       los ojos. Este artefacto es sumamente útil para que las

                                                                   personas con capacidades motoras limitadas puedan

                                                                   escribir sin mayor di cultad.

               Tarjeta de circuitos binarios.

               3. Jack Andraka y el Detector de cáncer
                   Una muestra de genialidad juvenil es del detector
                   de cáncer, creado y programado por el joven es-
                   tadounidense Jack Andraka. Este funciona en solo
                   cinco minutos, a través de un sensor de papel de-
                   tecta un proceso cancerígeno en el páncreas, ova-                                                ©Shutterstock
                   rio o pulmón. ¿Te imaginas cuántas vidas puede
                   salvar este dispositivo?”
                                                                   Cáncer.
                         Fuente: UTPL. (2017, 20 de diciembre). 3 descubrimientos científicos de adolescentes que nos inspiran. Obtenido de Blog Noticias
                                            UTPL: https://noticias.utpl.edu.ec/3-descubrimientos-cientificos-de-adolescentes-que-nos-inspiran

                     Matemática
                     3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   130                                                                          21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   130]]></page><page Index="27"><![CDATA[ó

                    1.   Analiza las siguientes oraciones y determina si son verdaderas (V) o falsas (F).

                       a)   A Luis Cruz le preocupaba que las personas con problemas motores
                           no pudieran comunicarse efectivamente de manera oral.


                       b)   Mark Zuckerberg es el creador de Facebook.

                       c)   The Ocean Clean Up tiene sede en Australia.


                       d)   El detector de cáncer funciona en solo cinco minutos, a través de un
                           sensor de papel detecta un proceso cancerígeno en el páncreas, ovario
                           o pulmón.

                    2.   Une con una línea el nombre del autor con su invento:


                       Jack Andraka                         Luis Cruz                         Boyan Slat





                       The Ocean Clean Up                   Detector de cáncer                Eyeboard







                    Actividad personal
                    1.   ¿Cuál de los tres descubrimientos llamó más tu atención? Explica por qué.

                       ________________________________________________________________________________________________________
                       ________________________________________________________________________________________________________
                       ________________________________________________________________________________________________________

                    2.   ¿Qué piensas que se podría hacer en el Ecuador para incentivar la investigación y el emprendimiento de los
                       adolescentes?

                       ________________________________________________________________________________________________________
                       ________________________________________________________________________________________________________
                       ________________________________________________________________________________________________________


                    Actividad colaborativa
                    3.   Dividan la clase en tres grupos, cada grupo investigue a fondo uno de los inventos para exponerlo al resto de

                       compañeros. Elaboren un organizador grá co o una infografía.
                    4.   Consideren las siguientes recomendaciones:

                       •   Debe haber un organizador grá co.
                       •   Hay que incluir imágenes.
                       •   Los textos deben ser sintéticos y precisos.
                       •   Se deben citar las fuentes de donde se obtuvieron los textos y las imágenes


                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   131                                                                          21/8/25   12:53
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   131]]></page><page Index="28"><![CDATA[DUA
                        ó                                                                   Acción y expresión




               En el siguiente grupo de preguntas, resuelve y selec-  8. Resuelve las siguientes integrales por cambio de
               ciona la respuesta correcta.                           variable.
                                      x 4          2
                                                ) 3x +
                                        +
                                          C
                                                     3C
                                   a)
                                                b
               1. Determina la integral inde nida de:   xdx           a)  a)  33 (  x 1) 4 dx

                                                                         ∫
                                                                               −
                                      4
                                                  4
                                                 x
                                                              2
                                                  2
                      x 4                     a)  4x + C        b ) 3x + C  (  1) 5
                                   2
                                   cx +
                                      2
                   a)  a)  + C        b ) 3x + )   C C       d  +  C     x 3 −
                                             c) )  4
                       4                         3                             + C
            x 4                    2                        4x 2          5
                        2
                   b) ) 3
         a)   +  C        b  2x +  C  4x     d)  cx )   2  +  C       d )   +  C
            4       cx )   +  C       d )   3  +  C          3
                                                   (
                                                  ∫
                                                      2

                                                         2x dx
                        2
                      4x
                                              a)
                                                 3
                                                      2
               2. Encuentra la integral inde nida de:  3x + ) ) x +2x + C     b  3x +2x + C     3  2
         cx )   2  +  C       d )   +  C
                                                                      b)  b)  2 (
                                                                              +
                                                                                   2
                                                                                      x dx
                                                                3
                            2
                       33
                   a)  a) x +2x + C     b    a) x +2x 2 3  2 c)   3 3 +  x +  2 2  C       d ) x + x +  C  ∫  x 1)( x + )
                                  3
                                    ) 3x +2x + C c x)  )+ C     b  3x +2x + C
                    c x +
                                      3 2
                                         C
                           2 2
             2
        3
                              C       d x +
     a) x +2x + C     b )    3 3  x + +2x + C c x)   3  +  ) x + x +  C d) )       d  x + x +  C  ( x + ) 5
                   b) ) 3x
                                                 3

                                                                         2
                                                                            x
               3.  Para resolver la integral inde nida  2xx + )
                       3
     c x + )    3  x +  2  C       d ) x + x +  C     ∫  (  2  1 dx,      2    + C
                                                            5
                                              a) u = x + 1     )
                   ¿qué cambio de variable es correcto? (  2  5      b ) u =  x + 1
                                                                     2
                                      b x (
                                          x + c)  c) )    b    )
                   a)  a) u = x + 1     ) (  2  a) u = ) u = + 1 2 5  1   u = x + 2x       d u = 2x 2  x (  2)
                                5
                                                      x +
                                       2
                                                       2
                                                     3
                                                          1
                                                  u =
                                                             )
                                                                         ∫
                                                                                 3
    a) u = x + 1     ) (  2  5      b  u = x + 2x       d u = 2x 2  d) )d u = 2x 2 2  (  c)  c)  3  2  3 x −  dx
                              1 c)
                                      3
                                  u = x + 2x
                           32
                          x +
                                   )
                   b) )
                    c) u =
                                                 x + )
                                                (
                                                                          2
                                                                          3 ) 3
                                                                       2( +
    c)  u = x + 2x       d u = 2x 2      ∫ (  a) 3 dx es: 1    + C           b )   x +1 x − C 2)  2  + C
           3
                   )
               4.  La solución de la integral  x + ) 1
                                                                      4
                                                   2
                      (  x + )  1  2  (  x + )  1  2  (  x + ) 3  1  2  (  x + ) 3  3  1  2  (  x + )  1  4  3
                                                     )
                                                          +
                                                            C
                   a)  a)    a)          + C           b + x (  3 )   C +1 + C          d  )  + C
                                       )
                                             c)  c)

                              + C           b
                         2        2         4        4              4
    (  x + )  1  2      (  x +1 3) 3  2  3  (  x + )  1  4  (  x + )  1  4   −4 x
                    c)  x +1 + C          d  ) )
                                 3
                                             d)
  a)         + C           b  (  3  )  c)  +(  C x +1 + C          d  ) C  + C  d)  d)  ∫  2 dx
                   b) )
                                              +
       2                  4               4        4                        − (12 x )
                                                                                2
                      x + )
                          4
                        1
         )
    (
         3
      3
                            +
                             C
  c)  x +1 + C          d  )  ( 5.  ¿Qué técnica es la más apropiada para resolver la   −1  + C
                             (
                                    2
                           ∫
                   integral:  xx + 4)  dx es:                          12  x 2
                               2
                       4
                                                                        −
                   a)   Integral directa
                   b)   Por cambio de variable
                                                                                                       6
                                                                                        6
                                                                                                        6
                                                                                         6
                                                                                                       ∫ ∫
                                                                                        ∫ ∫
                   c)   Sustitución trigonométrica                 9.  Dadas las integrales:  fx dx =10  y fx()   y  gx() dx  =  − 2
                                                                                                         gx dx = −2
                                                                                           ()dx =10  y
                                                                                                          ()
                                                                                         2
                                                                                                      2
                                                                                                        2
                                                                                        2
                   d)   Integración por partes                        halla:
                                                                          6 6 6 6
                                                                         ∫ ∫ ∫ ∫
                                                                                     dx=  8
                                                                                     dx=  8
                                                                                      dx=  8
                                                                       a) a a
                                                                             ( [f x( )
                                                                                  ( (x(
                                                      (
                                                     ∫
               6. Si u = x + 2, ¿cómo se expresa la integral  x + ) 2  2 dx  a)  a) [f x ( )+ g x) [f x) [ f x)+ g x ( )] )+ g( )+ g x)] ] )] dx=  8
                                                                          2 2 2 2
                   usando el cambio de variable? ∫ udu            b  ∫ udu  b)  )b  ∫ ∫ ∫ ∫ 6 6 6 6  gx)− fx)− fx( ) −fx( ) − fx) dx=  −12
                                                   2
                                              a)
                                                            )
                                                                        ) b  [gx ( [gx) b  [gx) b  [
                                                                                  ( ]
                                                                                   ( ] ) dx=  −12
                                                                             (
                                                                                  ( ] ) dx=  −12
                                                                                  ( ] ) dx=  −12
                        2
                                                   2
                   a)  a)  ∫ udu            b  ∫∫  2              ∫  x du          d )  (  ∫∫  x 2+ )  2 du  2 2 2 2 6 6 6 6
                                                   udu
                                    udu udu
                                             c)  c) )b
                                  ) a)
                                                                         ∫ ∫ ∫ ∫
                                                                             ( )ddx=
                                                                       c)  2g x)  2g x ( )d dx=  4      4
                                                                             ( ( )ddx=
                        2
                                                                          2 2 2 2
                                                  d
                       udu
                                       2
                   b) )b
           2
       a)  udu             c) ∫ ∫  x du          d )  (  ∫∫  ∫  x 2+ ) c)  x du 2 dud) )  (  ∫  x 2+ )  2 du  c c c)  c)  2g x)  2 g x)ddx=  − 4      − 4      − −
                                                                          6 6 6 6
                                                                       d  3 ( )fx dx= 303 ( )fx dx= 303 ( )fx dx= 30
                                                                             ( )

                    )  (
                       x 2+ )
                     ∫
                            2
                             du
           2
                       d
       c) ∫  x du 7. Selecciona la respuesta correcta: ¿Qué representa   d)  ) d  ) d  ) d  3) ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2  fx  dx= 30

                   geométricamente la integral de nida?
                                                                   10. Analiza y selecciona la respuesta correcta. Si f(x) es
                   a)  Una familia de curvas                                                              b
                                                                                                         ∫
                                                                      negativa en el intervalo [a, b], entonces:  fx dx
                                                                                                            ()
                   b)  La pendiente de la recta                                                           a
                                                                      a)  Positiva              c)  Cero
                   c)  El área bajo una curva
                                                                      b)  Negativa              d)  Indeterminada
                   d)  La velocidad de un objeto
                     Matemática
                     3.º BG
                                                                                                                     21/8/25   12:54
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   132
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   132                                                                          21/8/25   12:54]]></page><page Index="29"><![CDATA[11. Sea la región de la imagen, limitada por la curva   Coevaluación
                      y =  3  x +1 el eje OX y las rectas x = –1 y x = 7.
                      Halla el área de la región.                    Trabajen en equipo la rutina de pensamiento
                                                                     Veo – pienso – me pregunto.
                              y
                              4                                      13.  Un agricultor ha programado el riego de un terreno
                              3                                          rectangular, y para ello necesita saber cuánta agua

                                      3
                              2    f : y =    x + 1                       uye por una compuerta en cierto intervalo de
                              1 1 1 1 1 1 1 1                            tiempo.
                                                                         La velocidad de  ujo de agua, medida en litros por

                         –2 –1 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 x
                             –1                                          minuto, está dada por la función:
                             –2                                                        2 t +1     si   0  ≤ t < 2
                                                                                  ft () = 
                                                                                        4  t −      si   2 ≤ t ≤ 4
                                                                         ¿Cuántos litros de agua en total han pasado por la
                                                                         compuerta entre los minutos 0 y 4?
                                                                         Apliquen el análisis de la integral de nida en una

                                                                         función por partes y calculen.
                  12. Sea la región de la imagen, limitada por la curva
                          3
                      y =  x − 4 x y el eje OX. Halla el área de la región,
                      analiza tu resultado.

                                         y
                                         5
                                         4                           Contesta la rutina de pensamiento
                                         3                                 Veo
                                         2
                                      A1  1 1 1 1 1 1 1 1            ¿Qué es lo que describe el problema y cómo lo
                                                3
                                           f : y = x  − 4 x          visualizas?
                        –6  –5  –4  –3  –2 –1 0  1 1 1  2 2 2 2  3  4  5  6  7  x
                                        –1                           _____________________________________________________
                                            A2
                                        –2
                                        –3                                Pienso
                                        –4                           ¿Qué grá ca puedes efectuar para tener claridad?

                                        –5
                                                                     _____________________________________________________


                                                                         Me pregunto
                                                                     ¿Cómo la solución del problema le ayuda al agricultor?

                                                                     _____________________________________________________


                     Metacognición para aprender     Responde en forma oral o escrita.

                   ¿Determino la antiderivada o primitiva de una función y compruebo si es correcta por derivación?


                   ¿Puedo decir, con mis propias palabras, qué signi ca geométricamente la integral inde nida?



                   ¿Puedo decir, con mis propias palabras, qué signi ca geométricamente la integral de nida?
                   ¿Encuentro el área de una región encerrada por una función el eje OX y las rectas x = a y x = b?
                   ¿Puedo resolver problemas que involucren funciones por partes e integral de nida?


                                                                                                      Matemática
                                                                                                           3.º BG





                                                                                                                     21/8/25   12:54
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   133
         Matematica 3 BG Cultiva.indb   133                                                                          21/8/25   12:54]]></page><page Index="30"/></pages></Search>
