0 también atravesamos momentos emocionales 1 a < b < con sus propios límites. a = a ;..a >0 a < ;..0 ab Reconocer cuándo necesitamos una pausa o cuándo cuidarnos nos Racionalización ayuda a entendernos y a Caso 1: cuando el denominador de una fracción es un monomio, se multiplican los convivir mejor con los demás. términos de la fracción por el radical del mismo índice que el denominador, que al multiplicar dé como producto una cantidad racional. 3 3 2x 32x = ⋅ = 2x 2x 2x 2x Caso 2: cuando el denominador de una fracción es un binomio que contiene radica- les de segundo grado, se multiplican los términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado. ¿Sabes canalizar tus emociones? ⎛ ⎞⎛ ⎞ 4– 2 4– 2 2–5 2 18–22 2 11 2 –9 =⎜ ⎟⎜ ⎟= = 2 +5 2 ⎝ 2 +5 2 ⎠⎝ 2–5 2 ⎠ –46 23 M.5.1.2. Deducir propiedades algebraicas de la potenciación de números reales con exponentes enteros en la 24 Matemática simplificación de expresiones numéricas y algebraicas. 1.º BG 15/8/25 13:53 Matematica 1 BG Cultiva.indb 24 Matematica 1 BG Cultiva.indb 24 15/8/25 13:53]]> a. Se defi ne: ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 5n 2 a – b 2 a + b c) = x = , y = . 3 mn a + b b – a n 5 mn 3 m En cada ítem se define w. Calculen, racionalicen y simpli quen, si es necesario. d) 3– 2 = a) w = x – y. + 1 2 42 –5 6. Racionaliza los siguientes binomios. b) w = (x + y) . 2 52 –6 3 a) = 42 –3 3 2 a 5 ) ( + ab 2 14 +96 a ( + b) ( b − a) 2 – 5 c) w = x + y. + – ab b) ab – = ab – ++ ab –a –5 ab 2 a – a – b 2 a – b b 8. Indaguen, analicen y resuelvan. 3 c) = 1  1  2 5–2 Sean a∈, x =( ) 2 e y =  a 2  ¿es x = y? Justi - 2 a , quen su respuesta.   63 5 + Si, por las propiedades de la potenciación. 3– 2y x d) = 3x +3 2y Indaguemos x 3– 46xy +6y 9. Indaga en internet la expresión asociada al perio- x 3–18y do de un péndulo y racionalízala. Respuesta abiertaRespuesta abierta Matemática 27 1.º BG 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 27 Matematica 1 BG Cultiva.indb 27 15/8/25 13:54]]> a} –∞ a b ∞ Infi nito No incluye el extremo derecho y tiende a –∞ (–∞, a) o ]–∞, a[ {x / x < a} –∞ a b ∞ Infi nito Sí incluye el extremo izquierdo y tiende a +∞ [a, +∞) o [a, +∞[ {x / x ≥ a} –∞ a b ∞ Infi nito Sí incluye el extremo derecho y tiende a –∞ (–∞, a] o ]–∞, a] {x R / x ≤ a} –∞ a b ∞ M.5.1.7. Aplicar las propiedades de orden de los números reales para realizar operaciones con intervalos (unión, 30 Matemática intersección, diferencia y complemento), de manera gráfica (en la recta numérica) y de manera analítica. 1.º BG 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 30 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 30]]> 0, entonces ac < bc Si a < 0 y b > 0, entonces ab < 0 La diferencia A y B es el conjunto de todos los Si a < b y c < 0, entonces ac > bc Si a < 0 y b < 0, entonces ab > 0 elementos que pertenecen a A pero no a B. A cción y expresión Se representa con el símbolo: A\B o A - B Ejemplos paso a paso Complemento 1. Regresemos a nuestro problema inicial y respondamos las preguntas: de un intervalo Es el conjunto de todos ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción Paso 1. Representamos los tiempos de entrega de cada equipo en forma de intervalo. los números reales Equipo A: [15, 30] Equipo B: [20, 40] que no pertenecen a ese intervalo, dentro del Paso 2. Hallamos el rango total de tiempo en el que los equipos A o B pueden entregar universo considerado. pedidos. Para eso calculamos la unión A ∪ B = [15, 30] ∪ [20, 40] La unión de dos o más intervalos es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a Se representa como: A c uno o más de esos intervalos. Se representa con el símbolo de unión: ∪ Diferencia simétrica Equipo A Es el conjunto Equipo B de elementos que pertenecen a uno de los 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 conjuntos, pero no a Paso 3. Hallamos el rango de tiempo en el que los equipos A y B pueden realizar entregas. ambos al mismo tiempo. Para eso calculamos: A ∩ B = [15, 30] ∩ [20, 40] Se representa como: La intersección de dos o más intervalos es el conjunto de todos los elementos comunes A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A) que pertenecen a los intervalos. Se representa con el símbolo de unión: ∩ Equipo A Equipo B 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 2. Empleemos las definiciones de diferencia y complemento para resolver estas operaciones con intervalos. a) A = [–4, 2[, B = ]–1, 3[ b) A = [–6, 2[ C A – B = [–4, –1] A = ]–∞, –6[∪[2, +∞[ i –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3. Hallemos la diferencia simétrica, dados los siguientes intervalos: A = [–2, 6[ y B = [–4, 3] Paso 1. Encontramos B A A – B = ]3, 6[ –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 Paso 2. Hallamos B B A B – A = [–4, –2[ –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 Paso 3. Realizamos la unión de las anteriores respuestas. A = [–2, 6[B = [–4, 3]; A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A) –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 La diferencia simétrica es: [–4, –2[∪]3, 6[ Matemática 31 1.º BG 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 31 Matematica 1 BG Cultiva.indb 31 15/8/25 13:54]]> 0, si |x| = a, entonces x = a o x = – a ⇔ si solamente si Propiedades de las inecuaciones con valor absoluto pertenece a Sea x, a y a ≥ 0, se cumple que: Sea x, a y a ≥ 0, se cumple que: |x| ≤ a si y solo si –a ≤ x ≤ a ó x ≤ a y x ≥ –a |x| ≥ a si y solo si x ≤ –a ó x ≥ a Matemática Casos especiales de inecuaciones con valor absoluto Para comprender mejor Solución: el conjunto vacío Solución: Solución: un punto la resolución de las los números reales ecuaciones e inecuaciones, |2x + 7| ≤ –5 2 – |x – 8| < 4 es preciso recordar las – |x – 8| < 4 – 2 |x – 6| ≤ 0 propiedades de orden de |x – 8| > – 2 los números reales, los intervalos y las En toda inecuación con valor Por definición de valor propiedades del valor absoluto: absoluto |x – 8| ≥ 0, Por definición de valor absoluto |x – 6| ≥ 0, es decir, es cero o una absoluto. |x| ≤ a o |x| ≥ a, siempre a ≥ 0, por lo tanto mayor cantidad positiva. Escribe en el cuaderno es decir, a siempre es positivo. que –2. un ejemplo de ecuación En este caso la inecuación no La solución en este El único valor que satisface la y otro de inecuación se cumple para ningún valor caso son todos los inecuación es cuando |x – 6| = 0, de primer grado. Luego, de x. números reales . esto sucede cuando x = 6 identifica sus elementos Solución: el conjunto vacío Ø. La solución en este caso es un y resuélvelas. punto x = 6. M.5.1.8. Aplicar las propiedades de orden de los números reales para resolver ecuaciones e inecuaciones de primer 36 Matemática grado con una incógnita y con valor absoluto. 1.º BG 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 36 Matematica 1 BG Cultiva.indb 36 15/8/25 13:54]]>, ≥ y ≤ gráfi camente. –3 + 20 ≤ x ≤ 3 + 20 se denominan signos de la desigualdad. 17 ≤ x ≤ 23 Ley de tricotomía 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 x Sean a, b , se cumple ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción solo una de las siguientes Paso 5. Respondemos la pregunta: relaciones: La temperatura segura debe mantenerse entre 17 °C y 23 °C. a > b o a = b o a < b 2. Resolvamos las siguientes ecuaciones con valor absoluto. Comprueba la ley de tricotomía con un par |5x + 2| = 7 |x + 7| = |x – 3| de números. Aplicamos la propiedad Aplicamos la propiedad 5x + 2 = 7 ó 5x + 2 = –7 x + 7 = x – 3 ó x + 7 = –(x – 3) 5x = 7 – 2 ó 5x = –7 – 2 x – x = –3 – 7 ó x + 7 = –x + 3 Seguridad vial 5x = 5 ó 5x = –9 0 ≠ –10 ó x + x = 3 – 7 2x = –4 Las inecuaciones se aplican 5 x = 1 ó x =− x = –2 en la vida cotidiana; por 9 ejemplo, al ir de compras, El conjunto solución La primera ecuación no tiene solución, controlar la velocidad de  5 la única solución de la ecuación es: {–2} un auto o, simplemente, de la ecuación es: 1, −  en la relación de nuestro   9  peso con nuestra altura. 3. Empleemos la respectiva propiedad y resolvamos la inecuación. |4x – 5| < 3 Utilizamos la primera propiedad. ©Shutterstock –3 < 4x – 5 < 3 Resolvemos la inecuación lineal. –3 + 5 < 4x < 3 + 5 2 < 4x < 8 1/2 < x < 2 ¿Cuál es la diferencia entre Solución en forma de intervalo: (1/2, 2) inecuaciones y ecuaciones? Gráficamente –∞ –3 –2 –1 0 1 1 2 3 ∞ 2 4. Resolvamos la siguiente inecuación con valor absoluto. |x – 1| ≥ 2 Utilizamos la segunda propiedad. x – 1 ≤ –2 ó x – 1 ≥ 2 x ≤ – 2 + 1 ó x ≥ 2 + 1 x ≤ –1 ó x ≥ 3 Solución en forma de intervalo: (–∞, –1] U [3, +∞) Gráficamente –∞ –3 –2 –1 0 1 2 3 ∞ Matemática 37 1.º BG 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 37 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 37]]>3 a) 7– 42– x = –1 x = =0.y.x 4 x < –3.ó.x >3 b) 2–18x =0 b) x <1 x =9 –1 <<1 x c) x +12 0 = c) x ≥0,1 No tiene solución No tiene solución No tiene solución No tiene solución No tiene solución No tiene solución No tiene solución No tiene solución No tiene solución No tiene solución 1 1 x ≤ – .ó.x ≥ d) 4–12 –240x = 10 10 x = = –3.y.x 9 x d) ≤ 0,2 3 e) x –13–20 = 3 3 x – ≤≤ x = =11.y.x 15 5 5 x e) >10 2. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones. 7 a) x +13 26,.x ∈ [ ∞0, [ = x < –70.ó.x >70 x =13 f) 2x <5 3 7 b) 2x +=5,.x ∈ ] ∞–,0 ] 15 15 – << x x = = –6.y.x –1 2 2 c) 13x +17 =11,.x ∈ [–2,2 ] g) |2x – 3|<5 6 x = – 13 –1 < x < 4 < 4 –1 < x < 4 –1 < < 4 –1 < 38 Matemática 1.º BG 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 38 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 38]]> 1 + 2x inecuaciones. a) x +>36 0 ≤ x < 1 x < –9.ó.x >3 c) 5x + 3 ≤ |x – 1| b) 5–12x < 4 Sin solución en + ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 8 << 16 d) 5|x| < 1 + 4x x 5 5 0 ≤ x < 1 2x c) 5 –4 ≥ 6 6. Resuelve las siguientes inecuaciones. x x ≤ –5.ó.x ≥25 a) x +7 3–7 ≥3 – 2 4 x x +3 4–1 x ≤ 9 ó x ≥ 33 d) – ≤2 3 7 x 18 66 x –2 <+ 4 x – ≤≤ b) 5 5 x > –1 Necesidades educativas La discapacidad intelectual no es sinónimo 25 de incapacidad. Cada compañero puede realizar c) x +≥ actividades a su medida. ¡Inclúyelos! x ≤ –7 ó x ≥ 3 Actividad cooperativa 5. Trabajen en equipo y resuelvan las siguientes inecuaciones. a) x + 8 > |x| Indaguemos 7. Indaguen en varias fuentes sobre cómo las ecua- ciones e inecuaciones se aplican en la economía x ≥ 0 y producción. Escriban dos ejemplos, luego com- paren sus anotaciones con sus compañeros. Matemática 39 1.º BG 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 39 Matematica 1 BG Cultiva.indb 39 15/8/25 13:54]]> – 4 ¿Qué datos observas en la situación planteada? R _____________________________________________________ Respuesta abierta _____________________________________________________ R _____________________________________________________ _____________________________________________________ ta ta espuesta abier espuesta abier _____________________________________________________ x x x x x x es elemento de los reales es element es element es element eales eales eales eales eales eales es element es element es element es element es element es element es element es element es element es element es element es element es element eales o de los r o de los r o de los r o de los r o de los r o de los r o de los r o de los r o de los r o de los r o de los r o de los r o de los r eales eales o de los r eales eales eales eales eales eales eales o de los r o de los r Pienso 2x − 3 4 ¿Qué expresión modela esta situación? c) ≤ 5 5 espuesta abier _____________________________________________________ ta ta Respuesta abierta _____________________________________________________ espuesta abier R _____________________________________________________ R _____________________________________________________ − 1 ≤≤ 7 _____________________________________________________ x 2 2 Me pregunto 3x + 1 5 d) > ¿Qué pasa si la temperatura está fuera del intervalo 4 2 solución? _____________________________________________________ espuesta abier Respuesta abierta ta ta espuesta abier _____________________________________________________ R _____________________________________________________ R _____________________________________________________  − 11  −∞,  ∪ 3 ∞( ) , _____________________________________________________  3  Metacognición para aprender Responde en forma oral o escrita. ¿Qué métodos puedo utilizar para resolver productos notables, factorización y división de polinomios? ¿Qué hago cuando encuentro dificultades durante la resolución del ejercicio con racionalización? ¿Qué estrategias utilizo para aplicar las propiedades de orden de los números reales? ¿Cómo aplico los conocimientos sobre ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto en situaciones cotidianas? Matemática 43 1.º BG 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 43 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 43]]> f(x ) 1 2 1 económico, entre otras. –5 –4 –3 –2 –1 0 0 –1 1 1 1 1 2 3 4 5 x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x – –1 Constante si: – – – –2 –2 ©Shutterstock –4 Y –4 x < x ; entonces, f(x ) = f(x ) –3 –3 1 2 1 Corte con el eje x: Dominio Recorrido Punto (x, 0) Todos los números reales ( ) Todos los números reales ( ) Corte con el eje y: Punto (0, b) Monotonía Para hallar la monotonía es necesario interpretar la pendiente de la recta m que es la inclinación de la recta respecto del eje de las abscisas. La pendiente m de la recta es la tangente del ángulo que hace la recta con el eje de las abscisas en sentido positivo. M.5.1.20. Gra car y analizar el dominio, el recorrido, la monotonía, ceros, extremos y paridad de las diferentes Matemática funciones reales, función lineal. (desagregada) 1.º BG 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 46 Matematica 1 BG Cultiva.indb 46 15/8/25 13:54]]> 0 m = –a, m < 0 m = 0 m no está de nida. m = ∞ Ejemplos paso a paso 1. Regresamos a nuestro problema inicial y respondemos las preguntas. a) ¿Cuál es el valor de la pendiente? b) ¿Cuál es el costo de producir 0, 10 y 25 bufandas? Paso 1. Identi camos las variables y Paso 2. Construimos una tabla de valores analizamos qué signi can. y gra camos la función. Digital Costo variable por cada bufanda: 5x: x 0 10 25 Mira el video del enlace. Costo jo de producción diaria: 100 y 100 150 225 Aprende cómo dibujar una función lineal sin usar y: costo total de producción y la tabla de valores. 500 f Es una función afín que tiene la 450 lynk.ec/11mtc03 400 forma y = mx + b, es decir: 350 300 y = 5x + 100, donde la pendiente es 250 C m = 5. 200 B 150 A 100 La pendiente de la función es 5. 100 50 –2 –25 –20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 x –25 –2 –50 ¿Qué sucede con la recta, si la pendiente es negativa? Respondemos: El costo por producir cero bufandas es $100, por 10 bufandas $150 y por 25 $225. c) ¿Cuáles son las características de esta función? Paso 3. Dominio: representa los valores que puede tomar la variable x, es decir, la cantidad de bufandas producidas. Analizamos que no se pueden producir bufandas negativas, por lo tanto, el dominio es: Dom (C) = [0, +∞[, Recorrido: son los valores que puede tomar C(x), es decir, los costos totales de producción. Rec C(x) = [100, +∞[ Monotonía: su pendiente m = 5, es positiva, por lo tanto, es creciente. Corte eje x: si y = 0, tenemos que 5x + 100 = 0, entonces x = – 20. El punto de corte en x es: (–20, 0). Corte eje y: es el punto (0, b); entonces es el punto (0, 100). Matemática 1.º BG 15/8/25 13:54 Matematica 1 BG Cultiva.indb 47 Matematica 1 BG Cultiva.indb 47 15/8/25 13:54]]> 0 (positivo), la parábola es cóncava hacia arriba y tiene un punto 7 f(x) = ax 2 mínimo que es el vértice. 6 x < 0 5 Eje de simetría a > 0 Si a < 0 (negativo), la parábola es cóncava hacia abajo y tiene un punto Curva Cóncava máximo que es el vértice. decreciente 4 hacia arriba 3 Cortes de la parábola con los ejes coordenados: son los puntos donde la 2 x > 0 vértice Curva función es cero. Para hallar el corte con el eje x se hace f(x) = 0 y se resuelve 1 creciente la ecuación ax + bx + c = 0. 2 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x El corte con el eje y es: (0, c), cuando x = 0. –1 x < 0 a < 0 Eje de simetría: es la recta que divide simétricamente a la parábola, está Curva –2 Cóncava creciente –3 hacia abajo dado por la ecuación x =− b a 2 –4 x > 0 Vértice (V): es el punto de corte del eje –5 Curva decreciente  b  b  –6 de simetría con la parábola, tiene como coordenadas: V − , f −    2 –7 La función f(x) = ax tiene:  2 a  2 a  f(x) = –ax 2 Dominio = Recorrido: {0} si a > 0 ó {0} si a < 0 + – Matemática M.5.1.20. Gra car y analizar el dominio, el recorrido, la monotonía, ceros, extremos y paridad de la función cuadrática 1.º BG (desagregada) 15/8/25 13:55 Matematica 1 BG Cultiva.indb 80 15/8/25 13:55 Matematica 1 BG Cultiva.indb 80]]> 0 2 cóncava 4 hacia arriba Paso 2. Determinamos el vértice de la parábola. b 2  b  3 V −14) 3 1 1 21 x =− ==1 f −  f = () =− ()−= −4:( , 2  a 2 2  2 a  creciente 1 eje de simetría x = 1 [1, +∞) Paso 3. Determinamos la ecuación del eje de b 2 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x simetría. x =− ==1 decreciente –1 a 2 2 (–∞, 1] Paso 4. Tomamos valores de x a los dos lados del –2 Dom: eje de simetría, elaboramos una tabla de valores y V(1, –4) –3 Rec: [–4, + ∞) graficamos. –4 V Matemática 1.º BG 15/8/25 13:55 Matematica 1 BG Cultiva.indb 81 Matematica 1 BG Cultiva.indb 81 15/8/25 13:55]]> 0 2 S = x ax + bx + c = 0 = x , x 1 2 Matemática M.5.1.27. Resolver ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones de segundo grado con una incógnita. 1.º BG 15/8/25 13:55 Matematica 1 BG Cultiva.indb 86 15/8/25 13:55 Matematica 1 BG Cultiva.indb 86]]> 0 y contrario si k < 0. el uso de combustibles fósiles, además de mejorar Es importante indicar que: tu salud. ¿Qué cambios podrías Si k = 0, el resultado es el vector nulo: 0 v = (0, 0) hacer en tu rutina para Si k > 1, el vector se alarga. incluir la bicicleta como una opción más sostenible? Si 0 < k < 1, el vector se acorta. Si k < 0, el vector invierte su dirección. Propiedades del producto de un escalar por un vector Dados dos vectores cualesquiera u y v y los números α, β elementos de los reales, el producto de un escalar por un vector cumple con las siguientes propiedades. Propiedad Expresión Ejemplo   αβ ) = ( u u Asociativa ( αβ ) = ( u  βα ) (4 2) (5, 3) = 4[2(5, 3)] = 2[4(5, 3)]   u + u Distributiva respecto de la suma de escalares ( αβ ) = α + βu  (3 + 2) (5, 3) = 3(5, 3) + 2(5, 3)   ( Distributiva respecto de la suma de vectores α uv+ ) = αu + αv  7[(5, 3) + (2, 1)] = 7(5, 3) + 7(2, 1)   = Identidad multiplicativa 1 uu 1(5, 3) = (5, 3) M.5.2.3. Sumar, restar vectores y multiplicar un escalar por un vector de forma geométrica y de forma analítica, Matemática aplicando propiedades de los números reales y de los vectores en el plano. 1.º BG 15/8/25 13:57 Matematica 1 BG Cultiva.indb 156 Matematica 1 BG Cultiva.indb 156 15/8/25 13:57]]> 0, el vector 1 u 2u = 2(2, 1) resultante tiene la misma –1 0 x 2u = (2 2, 2 1) dirección que el primero. –1 1 2 3 4 2u = (4, 2) Paso 5. Obtenemos Paso 8. Gra camos el y analíticamente el producto de producto de –2u. 1 u –2u. Si k < 0, el vector –1 0 –2u = –2(2, 1) resultante tiene la misma –4 –3 –2 –1 1 2 x –2u = (–2 2, –2 1) dirección que el primero, –2u –2 –2u = (–4, –2) u pero en sentido contrario. Paso 6. Calculemos el módulo de los dos vectores:   ) u =(21 , u = 2 2 +1 2 = 5   = , 2 u =(4 2 ) 2 u = 4 2 +2 2 = 220 25 Matemática 1.º BG 15/8/25 13:57 Matematica 1 BG Cultiva.indb 157 Matematica 1 BG Cultiva.indb 157 15/8/25 13:57]]>