0, ∀ n∈ ,con nn 0 a – L < ε 0 n L Si (a ) es una sucesión que converge a L, escribimos lim a = . n n→∞ n Sucesión convergente Sucesión divergente Sucesión que tiene límite. Sucesión que no tiene límite. Propiedades básicas de los límites de sucesiones convergentes Sean (u ), (v ) sucesiones convergentes. Entonces Sean (u ) una sucesión convergente y λ ∈ R. Entonces n n n (u ± v ) es convergente, y, la sucesión (λ u ) es convergente, y, n n n u ) lim(u ± )limu ± limv lim( λ u = lim() λ v = n n n →∞ n n n →∞ n n →∞ n n→∞ n→∞ Sean (u ), (v ) sucesiones convergentes. Entonces la Sean (a ), (b ) sucesiones convergentes. n n n n sucesión (u v ) es convergente, y, ⎛ a ⎞ lim a n n Si b ≠ 0, ∀n ∈ R y lim b ≠ 0 , entonces n = es n→∞ n lim lim(uv = )limu ⋅ limv n n→∞ n n→∞ ⎜ ⎝ b ⎠ ⎟ lim b n →∞ nn n →∞ n n →∞ n n n convergente, y n→∞ ⎛ a ⎞ lim a n lim ⎜ n ⎟ = n→∞ n→∞ ⎝ b ⎠ lim b n n n→∞ Sean (a ) una sucesión y L ∈ R. Si lim a = , entonces lim a = . El recíproco, en general, no es cierto. Por L L 28 n n→∞ n n→∞ n n ejemplo, la sucesión (a ) con (a ) = (1) no es convergente, mientras que |a | = 1, ∀n ∈ Z con lo que la + n n n sucesión (|a |) converge a 1. n Notas: • Si el límite de (a ) es +∞ ó –∞ la sucesión es divergente. n • Si el límite de (a ) no existe, la sucesión es divergente. n • La sucesión (a ) solo converge cuando su límite es finito. n Actividad resuelta 2n2 Sea a = , n ∈ R. Calculamos el valor al cual converge la sucesión. n n2 + 16 Solución Dividimos numerador y denominador para la variable con exponente mayor en este caso para n2. 2 n 2 n 2 2 16 lim2 a = n 2 16 = 16 n→∞ = 2, lim1 0, lim n 2 = 0 = n n→∞ n→∞ n 2 + n 2 1 + n 2 2 n 2 Por las propiedades los límites tenemos: = a = n 2 n 2 16 = 2 16 lim2 = 2, lim1 0, lim 16 2 = 0 n n n→∞ n→∞ n→∞ n 2 + n 2 1 + n 2 2 Shutterstock, 1011583405. ⇒ a = 10 = 2 n + Por lo tanto, a converge a 2 cuando n → ∞. n 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 28 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 28]]> 0. El acuerdo a la expresión: fx ( cociente incremental de f en x está definido como: x = x − m ) fx ( ´ ( f(x + h) + f(x) m+1 m fx m )) Q(h) = x m+1 = x − m m ) m fx ( ´ a ⎞ h Que es equivalente a: ⎛ 1 La ecuación cartesiana de la recta secante se define x m+1 = 2 ⎜ ⎝ ⎛ 1 x + m a ⎞ ⎟ ; m = 0, 1, 2,... x ⎠ como: (x, y) ∈ R2 tal que y – f(a) = Q(h)(x – a) con h ≠ 0. x m+1 = ⎜ ⎝ 2 x + m x ⎠ ⎟ m ; m= 0,1, 2,... m Sucesiones de funciones • Sea A ⊂ R, A ≠ ∅. Se denota con F(A) el espacio Notación: si ϕ es una sucesión de funciones, se tiene: vectorial de funciones reales definidas en A. ⎧I → () F A ϕ = ⎨ • Sea A ⊂ R, A ≠ ∅, I ⊂ N con I ≠ 0. A toda función ⎩ n → ϕ( )n = f n ϕ de I en F(A) se la llama sucesión de funciones. Donde para cada n ∈ I, f es una función real definida n en A. Actividad resuelta ⎛ 1 20 ⎞ Aplicando el método de Newton- x 1 = 2 ⎜ ⎝ 4,5 + 4,5 ⎟ ⎠ = 4,472 22 Raphson, calculamos el valor aproxi- a = 20 ⎛ 1 20 ⎞ mado de √20. 4 2 << 5 2 x 2 = 2 ⎜ 4,47222 + 4,47222 ⎟ ⎠ = 4,472 14 a ⎝ Solución 1 = 0 =x 2 +(4 5) 4,5 ⎛ 1 20 ⎞ La raíz cuadrada de 20 está entre 4 x 2 = 2 ⎜ 4,47214 + 4,47214 ⎟ ⎠ = 4,472 14 ⎝ y 5, tomamos el valor promedio. √20 = 4,472 14 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 32 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 32]]> 0 con a diferente de 1. Función exponencial de base e La función f(x) = e se llama función exponencial en Propiedades x base e. e 2,718 281 828 4 i. a0 = 1 y 12 x ii. a > 0, x ∈ Z 11 x+z x iii. a = a ⋅ a z 10 x iv. Si a > 1 y x, z ∈ Z, tal que x < z, entonces a > a . z 9 v. Si 0 < a < 1 y x, z ∈ Z, tal que x < z, entonces a > a . z x 8 + x 7 vi. Para a > 1 y x ∈ Z , el número real a es tan –x 6 grande como se quiera según x lo sea, y a es positivo y tan pequeño como se quiera para x 5 suficientemente grande. 4 3 vii. Para 0 < a < 1 y x ∈ Z , el número real a es tan x + f(x) = 5 x 2 pequeño como se quiera para x suficientemente g(x) = e x –x 1 grande, y a es tan grande según x también lo sea. x –1,5 –0,4 –0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 –1 La función exponencial es siempre positiva para todos los valores de x. El gráfico se mantiene siempre por –2 36 arriba del eje horizontal. A cada valor de x le corresponde un solo valor de y. 8 Cualquiera que sea la base a ≠ 0, la función toma el valor 1 para x = 0. Todos los gráficos pasan por el punto (0,1). 7 Actividad resuelta 6 y Construimos la siguiente tabla y graficamos la función 5 exponencial f(x) = 2 . x 4 x –3 –2 –1 0 1 2 3 3 2 1 1 1 f(x) 1 2 4 8 8 4 2 1 f(x) = 2 x x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –1 Taller Obtiene la gráfica de una función exponencial a partir de a , mediante traslaciones, homotecias y reflexiones. (Ref. M.5.3.5.) x –1,5 –2 1. En cada caso, selecciona la función que no es exponencial. –2,5 A) Entre las funciones: B) Entre las funciones: –3 a) f(x) = 3 x+1 a) f(x) = 3 x–1 3 x 3 x b) f(x) = b) f(x) = 4 4 c) f(x) = x3 c) f(x) = 1 x 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 36 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 36]]> 1. α • Si un número es mayor que 1, su logaritmo es 1 α = log log n α iv. ( ) positivo. a n a • Si un número es menor que 1, pero mayor v. log a a =1 que cero, su logaritmo es negativo. vi. log 1 = 0 v) Si la base es 0 < b < 1. a log α ( ) vii. log α ( ) = b • Si un número real es mayor que 1, su logarit- a log a () b mo es negativo. 42 • Si un número real es menor que 1, pero mayor que cero, su logaritmo es positivo. Cuando a = e, y > 0 se escribe ln(y), lo que se denomina logaritmo natural de y, o también logaritmo neperiano. x y = e ⇔ x = ln(y) Actividad resuelta 3 a) Se conoce que log(4) 0,602 06, calculamos el valor aproximado de log(√ 16) con cuatro cifras decimales. Solución Conocemos que: 16 = 4 2 2 2 2 ( 3 = log 16) 3 4 ) 2 = log( 3 ) = log 4 ( ) = log 4 ( ⋅0,60206 = 0,4014 3 3 b) Hallamos los logaritmos en base 10 de algunas cantidades y justificamos en notación exponencial. Notación logarítmica Notación exponencial log(10) = 1 101 = 10 log(100) = log(102) = 2 102 = 100 log(1 000) = log(103) = 3 103 = 1 000 – – log(0,1) = log(10 1) = –1 10 1 = 0,1 – – log(0,01) = log(10 2) = –2 10 2 = 0,01 – – log(0,001) = log(10 3) = –3 10 3 = 0,001 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 42 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 42]]> 0. Aprende más acer- g(x) f(x) ca de las ecuacio- • La solución de la ecuación exponencial con la forma a = a es nes exponenciales la solución (o soluciones) de la ecuación f(x) = g(x). Esto se debe en el siguiente a que dos potencias con las mismas bases son iguales si y solo si enlace: sus exponentes son iguales. mayedu.ec/ctm13/p46 Ecuaciones logarítmicas Una ecuación logarítmica es aquella en que la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Para resolver ecuaciones logarítmicas se debe: • Aplicar las propiedades de los logaritmos hasta obtener un solo logaritmo en ambos lados de la ecuación. • Resolver la ecuación resultante y validar los resultados obtenidos. 46 Actividad resuelta Ecuaciones exponenciales Ecuaciones logarítmicas a) Determinamos la solución de la siguiente ecuación: b) Encontramos la solución de la siguiente ecuación: 3 ⋅ 2 – 5 ⋅ 2 = 56. ⎛ x ⎞ x+2 x x =+log 2log( ) 3 ⎜ ⎝ 10 ⎟ ⎠ − x 2log( ) x =+log( ) log(10) 3 + 3 · 2 x2 − 5 · 2 x = 56 2log( ) 3 3 ⎛ x ⎞ ⎟ log( ) x=+log x = −1 ⎜ 2 3 · 2 ·2 x − 5 · 2 x = 56 log(x = ) 2 ⎝ 10 ⎠ 2log( ) 3 x − =+log( ) log(10) x 12 · 2 x − 5 · 2 x = 56 x =10 2 x log( ) 3 = −1 7·2 x = 56 x =100 log(x = ) 2 2 x == 3 x =10 2 82 x = 3 x =100 Si reemplazamos la solución en la ecuación original, satisface la igualdad. Si reemplazamos la solución en la ecuación original, satisface la igualdad. c) Resolvamos la siguiente ecuación: 3 = 2 1–2x , como las bases son diferentes tomamos logaritmos en x+4 ambos miembros y aplicamos las propiedades. ( ( ) () (12 log2 log3 x+4 ) =log2 − 1 2 x ); x ( + 4 log3 =− x) (); () xlog ()+3 4log3 ()− x 2log 2; x(log(3 )+2log(2))log(2)4log(3); ()=log2 = − log(2) − 4log(3) x = ; x = –1,165 (log(3 )+2log(2)) 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 46 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 46]]> a g(x) f(x) a < a g(x) f(x) Condiciones para resolución a) Cuando a > 1 se cumple que: b) Cuando 0< a < 1 se cumple que: a f x() > a gx() ⇔ f(x) > g(x) ó a f x() > a gx() ⇔ f(x) > g(x) ó a f x() < a gx() ⇔ f(x) < g(x) a f x() < a gx() ⇔ f(x) < g(x) Inecuación logarítmica a f x() > a gx() ⇔ f(x) < g(x) ó > a ⇔ f(x) < g(x) ó a gx() f x() Una inecuación logarítmica es una desigualdad en la que la variable aparece en el argumento del logarit- < ⇔ f(x) > g(x) f x() < gx() a gx() a a a ⇔ f(x) > g(x) f x() mo. Para su resolución es necesario considerar las características de la base, la definición y las propiedades de la monotonía del logaritmo. Propiedades de la monotonía del logaritmo: 50 Si a > 1, b > c Si 0 < a < 1, b > c ⇒ log b > log c ⇒ log b > log c a a a a Actividad resuelta Inecuaciones exponenciales Inecuaciones logarítmicas x 2 x+2 Sea la inecuación 2 ≤ 2 , determinamos el conjunto Encontramos la solución de la siguiente inecuación: solución. log (1 – 2x) ≤ 2. 3 2 x +2 ≤ 2 x 2 Primero evaluamos la existencia del logaritmo: 1 2 x + ≤ x 2 1 – 2x > 0 ⇒ x < 2 . x 2 − −≥20 Luego resolvemos la inecuación: log (1 – 2x) ≤ 2 x 3 1) (x − 2)(x + ≥ 0 1 – 2x ≤ 9 x 1 ≥ 2, x 2 ≤ −1 x ≥ –4 { ∈ S = x  x +2 ≤ 2 2 x 2 } = ]−∞ − ∪, 1 ][ ∞2, [ S = x ∈ log (1 2 ) 2 = −4, 1  x ≤ − 3 2 La representación gráfica de la solución de la La representación gráfica de la solución de la inecuación inecuación es: logarítmica es la sola intersección de las dos soluciones: x x –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 –4 –2 0 1 2 2 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 50 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 50 4/8/23 12:33]]> 4 x2– 33 4 7 3x–1 > 49 2. Resuelve la inecuación. 5. Resuelve la inecuación logarítmica. 8 0,3–x ≥ 1 ⎛ x +15 ⎞ log x ⎜ ⎝ x − ⎠ >1 ⎟ 1 3. Halla el conjunto solución de la inecuación. ⎛ ⎞ 1 4 x +3 1 ⎜ ⎟ < 6. Encuentra el conjunto solución de la inecua- ⎝ ⎠ 2 2 ción logarítmica. log 1 (2x + 5) < –2 3 51 4. Determina la solución de las siguientes inecua- ciones exponenciales. a) 2 > √2 x 7. Encuentra la solución de la inecuación. log2(x + 3) < log2(5 – x) b) (0,02) ≤ 0,04 x 8. Resuelve las siguientes inecuaciones con logaritmos. log₃(2x – 5) > 2 c) (27) < 9 x+3 x–1 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 51 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 51 4/8/23 12:33]]> b, entonces: ∫ f = − f () x dx ∫ ()dx Si f(a) existe, entonces: f(x)dx = 0 a b a Si k es una constante cualquiera, entonces: Si las funciones f y g son integrables en [a, b], entonces b f ± g también es integrable en [a, b], y ∫ k = ( dx − ) k b a b b b a g x x x ∫ ⎡ f ⎣ ± () ⎤ = () x ⎦ ∫ f ()dx ± ∫ g ()dx Si la función f es integrable en [a, b] y k una constante a a a arbitraria, entonces: b b 62 ∫ k f = k ∫ f () x dx ()dx x a a TIC Actividad resuelta 5 x2 En internet existen muchas a) Calculamos la integral definida que se propone dx calculadoras que nos ayudan 2 a encontrar resultados 5 x 2 1 3 5 1 1 0 3 0 5 rápidos de las integrales ∫ dx = x = ( ) − ( ) 3 definidas. Encuentra una 0 2 6 0 6 6 de ellas en el siguiente enlace: 125 mayedu.ec/ctm13/p62 = 6 ⎧2x ≤≤ 2 fx ()dx b) Encontramos la integral: ∫ 0 5 fx si () = ⎨ 2, +1, 0 x . 2 x < ≤ 5 ⎩ Se trata de una función por partes, descomponemos la integral dada en dos integrales y analizamos a qué función corresponde. 5 2 5 5 2 5 ( )dx ()dx ()dx ()dx ∫ 0 fx = ∫ 0 fx + ∫ 2 fx ; ∫ 0 fx = ∫ 0 (2x +1 )dx + ∫ 2 2dx 2 2 5 5 − 00 ∫ 0 (2x +1 )dx = x 2 + x 0 = 42 ) ( + ) = 6; ∫ 2 2dx = 2x 2 =10 −=46 ( + 5 2 5 ()dx 6 ∫ fx = ∫ (2x +1 )dx + ∫ 2dx =+=612 0 0 2 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 62 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 62]]> g(x), entonces la integral de- = 2 +8x −5 6 −x ⎧y 6 2 área de la región finida que permite encontrar el −− − ⎤ ; ∫ = 5 x − ⎡ x +8x ⎤ ; 1) dx ()− ( ) x dx ⎡f x g A ∫ ⎣ R ⎨ ⎦ 8 encerrada por las curvas es: ⎣ ⎦ 1 1 x = +1 ⎩ ⎪y B = (6, 7) −x 3 7x 2 6 6 2 ⎧y = = −x − ⎡ x +8x +7x 5 − ⎤ 6 dx = + -6x − 2 A 6 ⎨ R ∫ ⎣ ⎦ 3 2 1 x ⎩ ⎪y = +1 1 6 125 2 +7x − ⎡ x = A R = ∫ ⎣ ()− ( ) x dx = 6 − ⎡ x 2 u 2 +8x −− − ⎤ ; 6 − ⎤ 6 dx 1 ∫ 1) dx 5 x ⎦ ⎤ ; g A ⎡f x 4 g(x) = x + 1 R 1 ⎦ ∫ ⎣ 1 6 ⎣ ⎦ 6 −x 3 7x 2 6 A = ∫ ⎣ − ⎡ x 2 +7x − ⎤ 6 dx = + -6x ⎦ 2 A = (1, 2) R 1 3 2 1 6 ⎦ x A R = ∫ ⎣ − ⎡ x 2 +7x − ⎤ 6 dx = 125 u 2 6 1 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 12 14 16 18 20 22 24 –2 –4 –6 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 68 4/8/23 12:33 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 68 4/8/23 12:33 –8 –10]]> 0 y x, y ∈ R denotan las incógnitas. Nos interesamos ahora en la bús- 16 + queda de soluciones enteras positivas cuando a, b ∈ Z, es decir, en hallar m, n ∈ Z , tales que am + bn = c. 14 Actividad resuelta Sea la ecuación lineal con dos incógnitas 3x + 2y = 12, despejamos la variable; y 2y = 12 – 3x; 2y = 3(4 – x). 12 De esta igualdad se deduce que 3(4 – x) debe ser múltiplo de 2. Esto es posible si (4 – x) es múltiplo de 2. 10 Cambiamos y por j y tenemos: y 4 – x = 2j, ∀j ∈ Z; despejamos x : x = 4 – 2j 8 Reemplazamos en la ecuación: 2y = 3(4 – x) y te- E = (0, 6) nemos: 6 2y = 3(4 – 4 + 2j): y = 3j. 4 Las soluciones enteras están representadas en el D = (2, 3) conjunto solución: 2 S = {(x, y) | x, y ∈ Z}; S = {(4 – 2j, 3j) | j ∈ Z} C = (4, 0) x 82 j –2 –1 –14 0 –12 –10 1 –8 2 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x 8 7 4 2 0 –2 B = (6, –3) 20 y –6 –3 0 3 6 –4 18 Si se solicita solo las soluciones enteras positivas, A = (8, –6) corresponde a C(4, 0) D(2,3) y E(0, 6). –6 16 14 –8 12 Taller I.M.5.8.1. Utiliza métodos gráficos y analíticos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de inecuaciones, para determinar –10 el conjunto de soluciones factibles y la solución óptima de un problema de programación lineal. (I.3.) 10 8 1. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales con y dos incógnitas, da al menos cuatro respuestas 6 particulares para cada caso y realiza el gráfico. a) 3x + y = 3 4 2 x –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 j –1 0 1 2 –2 x y –4 –6 –8 –10 4/8/23 12:34 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 82 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 82 4/8/23 12:34]]> 1)? 100 j) Si λ = 3,3, ¿a qué es igual P(X ≤ 3)? d) Si λ = 2,3, ¿a qué es igual P(X > 4)? k) Si λ = 5, ¿a qué es igual P(X ≥ 5)? e) Si λ = 0,9, ¿a qué es igual P(X ≤ 4)? l) Si λ = 0,8, ¿a qué es igual P(X ≤ 4)? f) Si λ = 4,1, ¿a qué es igual P(X ≥ 10)? 4/8/23 12:34 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 100 Cuaderno Matematica 3 BGU.indb 100 4/8/23 12:34]]>