0 b b 1 = a ;..a >0 a < ;..0 ab < b < a a Racionalización Caso 1: cuando el denominador de una fracción es un monomio, se multiplican los términos de la fracción por el radical del mismo índice que el denominador, que al multiplicar dé como producto una cantidad racional. 3 3 2x 32x = ⋅ = 2x 2x 2x 2x Caso 2: cuando el denominador de una fracción es un binomio que contiene radicales de segundo grado, se multiplican los términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado. 4– 2 ⎛ 4– 2 ⎞⎛ 2–5 2 ⎞ 18–22 2 11 2 –9 14 =⎜ ⎟⎜ ⎟= = 2 +5 2 ⎝ 2 +5 2 ⎠⎝ 2–5 2 ⎠ –46 23 Actividad resuelta Racionalizamos la siguiente expresión, de acuerdo al caso 2, anteriormente descrito. 5 +2 7 ⎛ 5 +2 7 ⎞⎛ 4 5 +37 ⎞ 20 + +3 35 +8 35 42 62 +11 35 62 +11 35 =⎜ ⎟⎜ ⎟= = = 2 ) ( 4 5 –3 7 ⎝ 4 5 –3 7 ⎠⎝ 4 5 37 ⎠ ( 4 5 –3 7 ) 2 80– 63 17 + Taller I.M.5.1.1. Aplica las propiedades algebraicas de los números reales en productos notables, factorización, potenciación y radicación. (I.3.) 1. Simplifica a su mínima expresión los siguientes radicales. 1 81a 2 a) 3 128 = ___________________________ c) 2xy 4 3 = _______________________ 2 4xy 3 4a 2 b) = _________________________ d) 50ab = __________________________ 2 2 27y 3 4/8/23 10:37 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 14 4/8/23 10:37 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 14]]>0. Se supone que estos elementos están relacionados de la siguiente manera: ⎛ b ⎞ c)1 d ( =+ ⎜1– ⎟ ⎝ a⎠ Esta igualdad se conoce cómo fórmula. Para el cálculo de uno de los cuatro datos, se deben conocer los otros tres de antemano. Mediante la aplicación de las propiedades algebraicas de los números reales, se obtiene el dato faltante. La palabra fórmula se comprende como una igualdad o desigualdad notable que define identidad, una relación o un algoritmo. La palabra ecuación se comprende como una igualdad condicional propuesta en un conjunto, la que es verificada por la especificación de parámetros indeterminados o incógnitas del conjunto. Actividad resuelta Resolvamos: Un gas ocupa un volumen de 2 L en condiciones normales (P= 1 atm, T= 273 °K). ¿Qué vo- lumen ocupará esa misma masa de gas a 2 atm y 373 ºK? Usamos la ley combinada de los gases ideales. PV = PV → V = V P T 1 0 00 11 T 0 T 1 1 0 P T 0 1 16 V = V P T 1 = 2L 1atm 373 k ° = 1,37 L 0 0 1 P T 0 2 atm 273 k ° 1 Taller Despeja una variable de una fórmula para aplicarla en diferentes contextos. (I.2.) (Ref. I.M.5.1.2.) 1. Designa las variables por la inicial de su nom- c) La fuerza de atracción entre dos cuerpos bre y escribe la fórmula que expresa: es igual al producto de una constante “k” por el cociente que resulta de dividir el producto de las masas de los cuerpos por a) La suma de dos números multiplicada por el cuadrado de su distancia. su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. ___________________________________ ___________________________________ b) La base de un triángulo es igual al duplo d) La potencia de una máquina es igual al de su área dividido por su altura. trabajo que realiza en 1 segundo. ___________________________________ ___________________________________ 4/8/23 10:37 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 16 4/8/23 10:37 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 16]]> 0, entonces ac < bc Si a < 0 y b > 0, entonces ab < 0 Si a < b y c < 0, entonces ac > bc Si a < 0 y b < 0, entonces ab > 0 Intervalos Acotados Infinitos Sean ,ab ∈ ;..ab Sean ,ab ∈  < Intervalo infinito abierto a la derecha Intervalo cerrado [ ,ab ] = { ∈x  ≤≤xb } –,a [ = { ∈x ] ∞ xa } { ∈x  < a > } x a = Intervalo infinito cerrado a la derecha , [ x ≤< Intervalo abierto ab { ∈  a xb} –,a ] = { ∈x ] ∞ xa } { ∈x  ≤ a ≥ } x [ = = Intervalo semiabierto a la derecha Intervalo infinito abierto a la izquierda x [ , ab { ∈  a xb} , b [ { ∈x  ] ∞= xb } { ∈x  > b < } x [ = ≤< = Intervalo semiabierto a la izquierda Intervalo infinito cerrado a la izquierda ] ,ab ] = { ∈x  <≤xb } , b [ { ∈x  [ ∞= xb } { ∈x  ≥ b ≤ } x a = 22 Actividad resuelta Realizamos la intersección del siguiente intervalo: –3, ∞ [ [ ]–5,1 ]  [ [–2,5 – ∞ + ∞ – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Intervalo Intersección El resultado es –2,1] [ Taller Expresa su respuesta en intervalos y la gráfica en la recta numérica. (Ref. I.M.5.1.2.) 1. Representa en la recta numérica los intervalos que se indican a continuación. a) [–3,.2 ] b) [ [–4,.5 –7 –6 –5 –4 –3 –2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 –7 –6 –5 –4 –3 –2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 22 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 22]]> ⇔∈ ] ∞–,. – a  [] ∞ ,, xa < .ó.x –a a a > Actividad resuelta a) Resolvamos la siguiente ecuación con valores absolutos. x –2 = 2x +3 Primera forma de resolver Segunda forma de resolver x =–2 + 2x 3 x –2 2 = x 3 2 2 + x x =–2 2x + 3. ∨. –2 –2 –3 2 2 x = (x –2 ) ( x2 + ) 3 = –1 2 x = –5. .x x – 4 x + = x 2 +12 x +9 4 ∨ = 4 3 x 5 ⎧ –1 ⎫ x 3 2 –16 x + =0;, ( + x 3 1 )( + 5 )=0 solución: ⎨–5, ⎬ 1 ⎩ 3 ⎭ x = – ;, x = –5,solución: ⎧ –1 ⎫ ⎨–5, ⎬ 3 ⎩ 3 ⎭ b) Encontremos la solución de la siguiente inecuación con valor absoluto. 2–3x ≥2 5 Solución 2–3x ≥ ≥2;,que,es.equivalente,a: 2–3x 10 5 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 24 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 24 4/8/23 10:38]]>3 ___________________________________ b) x <1 ___________________________________ 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 26 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 26]]>10 3 7 ___________________________________ 2x f) <5 3 ___________________________________ x +7 3–7 x f) – ≥3 2 4 5. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x +>36 27 x g) x –2 <+ 4 x b) 2–55 < 25 h) x +≥ c) 5–12 < 4 x 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 27 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 27]]>fx 2 Función real a trozos ⎧ ax b ,.x x ≤ +   → ,fx () =⎨ 1 1 0 ax b 2 ,.x x 0 > + ⎩ 2 TIC Actividad resuelta Para ampliar Completamos la tabla y hallamos el dominio y rango de la siguiente más acerca de función: () =fx x este tema, ingresa x +1 en el siguiente El dominio corresponde al conjunto de salida, por lo tanto: enlace: () =∈x Domf ] ∞–,–1  [ ]–1, ∞ [ 28 www.mayedu.ec/ctm11/p28 El rango o recorrido es el conjunto de valores del codominio que son imágenes de x expresado como yf () x , por lo tanto: Ranf () = fx () ] ∞  1, ] [ = –,1[ ∞ ∈ Para completar la tabla y graficar, reemplazamos los valores de x en =yf x (), () 2 2 así: () =2f = ()+2 1 3 x f(x) y 5 1 1/2 4 2 2/3 3 x fx 3 3/4 () = 2 x +1 4 4/5 1 x 5 5/6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Shutterstock, 1120701632. 1 0 0 2 –2 2 3 –3 3/2 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 28 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 28]]> ;,ao ⎢ ;,ao< ⎥ Ran f () = ⎥() ⎥ ⎥ si a < 0; y ;,⎢ ,∞⎢ ;,a > ,∞⎢; si a > 0 ⎦ ⎦ 4a ⎦ 4a ⎦ ⎣ 4a ⎣ 4a ⎣ ⎣ Mínimo x ∈ ,a > → fx () ≥ 4ac b 2 m = 4ac b 2 = min () – – 0 fx de la función cuadrática 4a 4a Máximo x ∈  < →fx 4ac b 2 M = 4ac b 2 = max () – – 0 a , fx de la función cuadrática () ≤ 4a 4a Intervalos de la función cuadrática ⎤ b ⎤ ∞ Estrictamente decreciente ⎥ ⎦ – ,– 2 ⎦ a ⎥ a > 0 ⎡ b ⎡ Estrictamente creciente ⎢ – ,∞ ⎢ ⎣ 2a ⎣ ⎤ b ⎤ Estrictamente creciente ⎥ – ,– ⎥ ∞ ⎦ 2 ⎦ a a < 0 32 ⎡ b ⎡ Estrictamente decreciente ⎢ – ,∞ ⎢ ⎣ 2a ⎣ Actividad resuelta Analizamos el comportamiento de la siguiente función cuadrática, determinamos el vértice, punto máximo o mínimo y los intervalos de monotonía. f(x) = –2x +4x –2 2 Determinamos los coeficientes de la función: Representación gráfica a = –2; b = 4; c = –2 y 1 Domf () =  Intervalos de monotonía –,0] = Ranf () ] ∞ Creciente: –,0[ V = (1, 0) ] ∞ –2 –1 0 1 2 x Vértice: Decreciente: 0, ] +∞ [ ⎛ –b ⎛ –b ⎞⎞ Como a < 0, existe un punto 1 V = ⎜ ,f ⎜ ⎟⎟ ⎝ 2a ⎝ 2a ⎠⎠ máximo ⎛ –4 ⎛ –4 ⎞⎞ Punto máximo (1, 0) 2 V =⎜ ,f ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 –2) ( 2 –2) (⎝ ⎠⎠ V ( = 1,0) 3 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 32 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 32 4/8/23 10:38]]> 0 { c S = x ∈  ax 2 +bx + = 0 = x x 2 } { , } 1 Propiedades de las raíces En toda ecuación cuadrática, en la que el coeficiente del primer término es la unidad, se cumple: i) La suma de las raíces es igual al coeficiente de x con el signo cambiado, dividido para el primer coeficiente. b Sx 1 + x 2 = – = a ii) El producto de las raíces es igual al término independiente, dividido para el primer coeficiente. c Px 1 ⋅ x 2 = = a 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 38 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 38]]>0 ( –b α) – 4a ( –c β) =0 ( – α) – 4a c β) <0 ( – b 2 4a 2 4a 4a 2 Método analítico Los sistemas de ecuaciones no lineales se describen de la siguiente manera y la solución de estos 44 sistemas radica en encontrar dos números x, y que satisfacen las ecuaciones propuestas. ⎧ 2 + ⎪ax 2 + b y +c x +d y fxy e = , abc d , ,, f e ) ;.. , x y ∈  ( ∈, 2 ⎨ 1 1 1 1 1 1 i i i i i i 2 2 = ⎪ax + ⎩ 2 2 + b y 2 +c x 2 +d y fxy e 2 2 Actividad resuelta Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones. Reemplazamos en la primera ecuación. ⎧ 1 1 ⎛ 2 1 ⎞ 1 ⎪ + = 13 ⎜1 ++ ⎟+ = 13 ⎪ x 2 y 2 y y 2 2 ⎨ ⎝ ⎠ y ⎪ 1 – 1 =1 y 6 2 – y –1 =0 ⎪ y ⎩ x y 6 2 – y –1 0 y ± 1 25 = = ⇒ = Despejamos en la segunda ecuación y elevamos 12 al cuadrado. 1 1 y 1 = y 2 = , – 1 – 1 = ⇒ 1 = + 1 1 2 3 1 x y x y Reemplazamos y para obtener x , repetimos para y . 1 2 1 ⎛ ⎞ 1 2 ⎛ 1 ⎞ 2 1 1 1 1 ⎜1 12 ⎜ ⎟ = + ⎟ = + 1 = + ⇒ x = x = ;... – ⎝ ⎠ x ⎝ ⎠ y x 1 1 3 2 2 1 = + + 1 2 2 1 ⎛ 1 ⎛ 1 1 x 2 y y 2 ( )x y , =⎜ , ⎞ ( ⎟;,, ) x y , =⎜– ,– ⎞ 1 ⎟ 1 1 ⎝3 2 ⎠ 2 2 ⎝ 2 ⎠ 3 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 44 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 44 4/8/23 10:38]]> δ >0,... <00 0 δ ( d xx , ⇒ d f ) () x L , < ε ( ) < Se escribe lim( )=fx L x → 0 Actividad resuelta Sean x 0 = –1,5;...x = –1,5 + ;...hh ∈ . Calculemos las distancias que se muestran en la tabla adjunta: ( = h x = –1,5 + h d(–1,5; x) ( d –1,5,–1,4 ) = –1,5– –1,4 ) =1,5–1,40,1 52 0,1 –1,4 0,1 ( d –1,5,–1,49 ) =0,01 0,01 –1,49 0,01 ( d –1,5,–1,495 ) =0,005 0,005 –1,495 0,005 ( d –1,5,–1,499.9 ) =0,0001 ( d –1,5,–1,499.998 ) =0,000.001 0,0001 –1,4999 0,0001 ( ( d –1,5, x ) = –1,5– –1,5 +h ) = h Taller De manera intuitiva halla un límite y la derivada. (Ref. I.M.5.3.2.) 1. Sea x = – 2,66. Calcula x – h y x + h para todos los valores de h que se detallan a continuación. 0 0 0 a) h = –0,1 g) Para un valor de h sufi- h x – h x + h cientemente pequeño, 0 0 b) h = –0,002 5 hacia qué valor tien- –0,1 c) h = –0,000 125 den x – h y x + h. –0,0025 0 0 d) h = –0,000 000 1 ___________________ –0,000125 e) h = –0,01 –0,0000001 f) h = –0,001 –0,01 –0,001 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 52 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 52 4/8/23 10:38]]> 0 que se dan en la tabla. Calcula y responde: h x = –3 –3h y = –3 + 6h 2 Z = – 3 – h + 9h 2 –0,2 –0,015 –0,002 2 –0,000 33 –0,000 027 –0,000 000 2 a) Interpreta los resultados y concluye. b) Para h < 0,2... ,,yz tienden a 2,9? x ___________________________________ ___________________________________ c) Indica el significado. ( – lim5 h ) =5 Shutterstock, 1747650056. h →0 ___________________________________ 4/8/23 10:38 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 53 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 53 4/8/23 10:38]]> Si () t ..y.. S ( +t ΔΔ ) t son los des- ds t ,siempre que esta exista, de la siguiente plazamientos en los instantes t y t ΔΔ+ t, la veloci- vada () dt dad media se expresa: manera: t – () S t ΔΔ ) S t ( + t – () ( + v = ;.ΔΔ t 0 ds S t ΔΔ ) S t ≠ m t () = Vt () = lim t Δ Δ dt t Δ Δ → 0 t Δ Δ La aceleración media (1) y la aceleración instantánea (2) se definen como: () ( Vt ΔΔ ) –t Vt dV Vt ΔΔ+ t) – Vt () ( + () 1 ...a m = ,. ΔΔ ≠0t ( ) 2 ... t () = at () = lim ΔΔt dt t Δ Δ →0 t Δ Δ Actividad resuelta La relación entre la distancia en metros y el tiempo en segundos, que recorre un automóvil durante una carrera es: S(t) = 6t . 2 58 Calculemos la velocidad media entre t [ ] ∈ 1,.4, la velocidad instantánea y la aceleración para t = 1 s. Solución La velocidad media está por: Para la velocidad y aceleración instantánea se debe derivar la función desplazamiento, así: () () –6 1 S () S4– 1 64 2 () v m = = dS dV 4–1 3 =Vt t; = at () =12 () =12 96–6 m dt dt v = =30. m m m 3 s Vt t =12 () =112. ; a 112. () =12 () = s s 2 Taller De manera intuitiva halla un límite y la derivada. (Ref. I.M.5.3.2.) Desarrolla los siguientes ejercicios y problemas. 1. Un colectivo transporta a los trabajadores de Si la distancia entre las dos ciudades es de una planta textil desde una ciudad A hasta la 56 km. Calcula el tiempo que demoran en ciudad B. El desplazamiento, medido en me- llegar los trabajadores a la planta textil. tros y el tiempo en minutos, están dado por la siguiente función: S(t) = t + 0,0045t ; t ≥ 0 2 4/8/23 10:39 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 58 4/8/23 10:39 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 58]]>0: los vectores , ,αu tienen la misma uv θ () uy dirección y sentido.   Siendo θ [ 0,.π] el ángulo que forman ambos ∈ uy 2. α <0: los vectores , ,αu tienen sentidos vectores. opuestos.  80  Los vectores uv, son ortogonales si: 3. 0 <<1; el vector αu es más pequeño que el    α  vector u. uv uv ; ... ⋅ =0 ⊥ Actividad resuelta    Dados los vectores uv, ∈V .donde. u =3, v =3, el ángulo (sentido antihorario) que se forma entre 2 ambos vectores es de 120°. Calculemos la norma y determinemos el ángulo para el siguiente vector: w = u2–3. v Efectuamos un gráfico. u = 3;..2 = u 6;.. v = 3;..3 = v 9 Por la ley de los cosenos y de acuerdo con el gráfico tenemos: 3v 2 2 2 w = 6 +9 –269cos (120 ) ° ×× × w = 171;.. w =13,077 v ά = 120º 2u β = 36,59º Para determinar el ángulo empleamos la ley de los senos: w 9 –3v w = 2u –3v = sen (120 °) sen θ () 9sen (120) sen () =0,596 θ = 13,077 θ =36,59 ° 4/8/23 10:39 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 80 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 80 4/8/23 10:39]]> 0: λ A tiene misma dirección y sentido que A . λ < 0 92 y 2. λ = 0: A coincide con el origen. λa a 3. λ < 0: λ A tiene la misma dirección, pero sentido opuesto que A . x A b λ A Vectores colineales: dos vectores ,AB son colineales si y solo si =A λB λb de modo que: a a – b b = 0 λ > 0 1 2 1 2 Actividad resuelta    b) Dados los vectores u = (2, 3) y v = (2, 1). u v a) Sea = ( 4,1, ) = ( 2,5. ) Calculemos +uv Encontremos el vector. y representamos gráficamente. u v w = –2 + 3 .y.grafiquemos . wu v ( + + w = –2 + 3 = –22,.3) ( ) 42,1 5) =+ = ( v u 3 2,.1 + w = ( 6,6) w = –2 + v = –4,. –6) ( + 6,.3) 3 ( u y w = –2 + v = 2,. –3) 3 ( u 6 y 5 3 4 2 3 v w u 1 v 2 x 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 u x –1 w 0 1 2 3 4 5 6 –2 –3 4/8/23 10:40 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 92 4/8/23 10:40 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 92]]> 0⇔≠ 0 A ⎩AA Distancia entre dos puntos Ángulo entre dos vectores  Es un número real no negativo definido de la El ángulo θ [ 0,.π] entre los vectores A y B se ∈ siguiente manera, sean A = (a, b) y B = (c, d): 94 ⋅ AB ( ) 2 c dA ,B = A –B = (a – ) ( + b d ) 2 define: cos θ () = − AB Ortogonalidad      1. A ⊥⇔ ⋅ = 0. B AB      2 AB S S 0, S B 2. Sea ⊂  ,S ≠∅..A ⊥ ⇔ ⋅ = ∀∈ .     2 A , R A 0, B B R 3. Sean ,SR ⊂  ,S ≠∅ ≠∅..R ⊥ ⇔ ⋅ = ∀ ∈ ∀∈ . , S S 4. S es conjunto ortogonal si ⋅=AB 0,∀AB ;... ≠ , ∈ SA B { 2 5. El complemento ortogonal de S se define S ⊥ = A ∈ AB 0, B } ⋅= ∀∈ S Actividad resuelta B Sea =A ( 2,.6, ) = ( –1,.2, ) C = ( 5,.2) los vértices de un triángulo. Calculemos el perímetro y representamos gráficamente. y A 2 6 ( ) 2 dA ,B = A –B = ( () 6–2) = 5 5 2– –1 ) ( + 4 ( ) dB ,C = 6 3 AB = 5 CA = 5 ( ) dA ,C = 5 B 2 BC = 6 C +dB , AB Pd ( ) ( ) ( ) = 16 1 ,C , AC +d = x –1 0 1 2 3 4 5 4/8/23 10:40 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 94 Cuaderno Matematica 1 BGU.indd 94 4/8/23 10:40]]>