5 entonces 1,257 1 ≈ 1,26 o 3,141 5 si aproximamos a las decenas, analizamos que 1 < 5 es, entonces 3,141 5 ≈ 3,14 Relaciones de orden en los números reales Un número real a es menor que otro b, si y solo si a se encuentra ubicado a la izquierda de b sobre la recta numérica; por ejemplo: 2 π< . 2 π2 π < < –1 0 1 2 3 4 Propiedades de la adición y multiplicación de los números reales La adición y multiplicación de números reales cumple con las propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del opuesto aditivo, existencia del inverso multiplicativo, existencia del elemento neutro de la 6 adición y de la multiplicación, además de la propiedad distributiva. , , . ∀ xy z ∈ ;... x yz) = xy xz ( + + Actividad resuelta Vamos a efectuar una aplicación de los núme- ros reales y sus propiedades. El esquema muestra la ubicación y forma de los terrenos de dos hermanos que han deci- dido unir sus tierras para ser más productivos. c Las medidas de ambos terrenos aún no son conocidas. a b a) Encontremos una fórmula para calcular el área b) Determinamos el área del terreno cono- total de los terrenos unidos. ciendo que tiene 500 m de ancho. El terreno resultante tiene forma rectangular A = (a + b) ∙ 500 = a ∙ 500 + b ∙ 500 por lo que su área puede calcularse así: A = 500a + 500b A = l ∙ h; donde: l es el largo del terreno; y h, el Para la solución, hemos aplicado la propie- ancho. dad distributiva. Luego, l = a + b y h = c A = l ∙ h A = (a + b) c = ac + bc 9/3/23 10:34 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 6 9/3/23 10:34 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 6]]> o ≥. Propiedades de las desigualdades Propiedades Ejemplos Si a < b; a + c < b + c 5 < 7, 5 + 3 < 7 + 3 Si a < b y b < c, a < c –2 < 0 y 0 < 6, –2 < 6 Si a < b y c > 0, ac < bc 4 < 7, 4(2) < 7(2) Si a < b y c < 0, ac > bc –4 < 2, –4(–3) > 2(–3) Shutterstock, (2021). 1097101739 1 1 1 1 Si a > b > 0 ó 0 > a > b; < 4 > 3, < a b 3 4 28 Actividad resuelta Resolvamos la siguiente ecuación: 3x + 5 = x – 1. Resolvamos la inecuación en el conjunto de los Restamos – 5 y – x a los dos miembros de la ecua- números reales. ción. Luego dividimos para 2 y despejamos la 3x + 5 < x – 1 incógnita Aplicamos las propiedades de las desigualdades Para resolver ecuaciones empleamos las propie- hasta que aislamos la incógnita en un miembro, así: dades mencionadas hasta aislar en un miembro la incógnita. 3x – x < – 1 – 5 3x – 5 – 5 – x = x – x – 5 – 1 2x < – 6 2x = – 6 x < – 3 x 2 = –6 x –3.= Gráficamente el conjunto solución es: 2 2 A Verificamos el resultado en la ecuación inicial: –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 3(–3) + 5 – (–3) – 1 El punto A se ha representado con un punto hueco –9 + 5 = – 4; –4 = –4 para indicar que no pertenece al conjunto solución. x } El conjunto solución es: S { ∈  / x < –3 o simplemente = S = {x ∈ R / x = –3} o simplemente S ( ∞–,–3 ) = S = {–3}. El paréntesis indica que –3 no pertenece al intervalo; es un intervalo abierto. Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 28 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 28 9/3/23 10:35]]> 0 ________________ R. ______________________________________ b) x – 1 > – 2 ________________ 9. Un ganadero tiene un presupuesto de $ 30 para comprar dos tipos de c) – 3x + 4 ≤ – 2 ________________ balanceado. El balanceado tipo I cuesta $ 0,25 por kilo y el tipo II, $ 0,10 por kilo. ¿Cuántos kilos del d) 2x + 6 < 0 ________________ balanceado tipo I puede adquirir conociendo que necesita el triple del balanceado tipo II e) 6 – 2x ≥ 0 ________________ para elaborar la receta del alimento para sus www.freepik.es, (2021). animales? f) 3x + 5 ≥ 2x – 19 ______________ ________________________________________ ________________________________________ g) 3x + 5 < x + 15 ________________ ________________________________________ h) 3(x + 2) ≥ 2(x – 1) ________________ 10. Representa el intervalo de números reales x comprendido entre –7 y –2 sin incluir a estos extremos, luego expresa como conjunto y 1 como intervalo. i) + 13 x ≤ ________________ 31 2 En forma de conjunto: j) 3(1 – 2x) < 2x – 5 ________________ En forma de intervalo: k) 25 – x > 3(x + 8) ________________ –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 11. Dados los intervalos: A = [–7, –2[ y B =[–5, 2]. l) 5x – 2 ≤ –x + 6 ________________ Realiza lo siguiente: 7. Seis manzanas pesan algo más de a) Representa gráficamente. medio kilo. Si tú compras 10 docenas: a) ¿Cuál es el peso máximo que puedes Shutterstock, (2021). 1548893639 cargar? –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 R. __________________________________ b) Halla AB y expresa la solución en for- ∪ ma de conjunto y de intervalo. b) ¿Cuál será el peso mínimo que cargarás? En forma de conjunto: ________________ R. __________________________________ En forma de intervalo _________________ c) Halla AB∩ y expresa la solución en for- c) Si compras 18 manzanas, ¿cuál es el peso ma de conjunto y de intervalo. En forma máximo que llevarás? de conjunto: _________________________ R. ___________________________________ En forma de intervalo _________________ 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 31 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 31]]>), representamos la recta con una línea punteada para indicar que los puntos que la forman no pertenecen al conjunto solución; en caso contrario (cuando tiene los signos ≤ o ≥) la representamos con un trazo continuo para indicar que la recta pertenece al conjunto solución. 3. Tomamos un punto que no pertenezca a la recta y lo sustituimos en la inecuación; si satisface la inecuación, sombreamos el semiplano donde se encuentra ubicado el punto; en caso contrario sombreamos el otro semiplano. 4. Si la desigualdad dada es estricta (signos < o >), entonces el área sombreada, sin incluir a la recta, es el conjunto solución de la inecuación; pero si la desigualdad dada no es estricta (signos ≤ o ≥), entonces el área sombreada y los puntos de la recta conforman el conjunto solución. Actividad resuelta Resolvamos la inecuación x + 2y > 4. P(0, 0), por debajo de la recta r. Recta r: x + 2y = 4 Analizamos si P satisface o no la inecuación dada: 32 Intercepciones con los ejes ”x” y “y” (0) + 2(0) > 4; 0 > 4 x = 0: x = ⇒0 ( )+ 0 y =2 4 ⇒ y =2 No satisface la inecuación; por tanto, en este caso, sombreamos el semiplano superior (el que no con- Punto A(0, 2) tiene al punto de prueba). y = 0: y = ⇒ +0 x 20 4 ⇒ x = 4 ( ) = 3 Punto B(4, 0) Trazamos la recta que pasa por los puntos A y B 2 A con línea punteada porque la desigualdad es estricta (>). 1 3 P B 2 A –2 –1 0 1 2 3 4 1 –1 El conjunto solución de la inecuación está forma- P B do por todos los puntos pertenecientes a la región –2 –1 0 1 –2 3 4 5 sombreada. –1 Verificamos, para ello tomamos un punto cual- Elegimos un punto de prueba cualquiera que no quiera del semiplano solución y reemplazamos en pertenezca a la recta; en este ejemplo: la desigualdad. P(3, 2) x + 2y > 4; 3 +2(2) > 4; 7 > 4 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 32 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 32]]> 0 3 3 y 2 2 1 x 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x –1 –3 –2 –1 0 1 2 3 –1 –2 –2 b) 2x + y = 0 y b) x – y ≤ 3 4 y 2 3 2 1 x 1 –2 –1 0 1 2 3 4 x –1 33 –2 –1 0 1 2 3 4 –1 –2 –3 c) x + y = 3 y c) – x – 3y ≥ 2 4 y B 2 3 2 1 x 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 A x –1 –1 0 1 2 3 4 5 –1 d) – 2x + 3y = 6 d) 2x + 3y < 4 y 4 y 2 3 B 2 1 x 1 –2 –1 0 1 2 3 4 A x –1 –4 –3 –2 –1 0 1 –1 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 33 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 33]]> 4 El punto (1, 1) no satisface la inecuación. y c) y > 5x – 1 3 y 3 2 2 1 x 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 x –1 –3 –2 –1 0 1 2 3 –1 c) 2x – 5y < 1 El punto (2, 2) satisface la inecuación. d) y ≥ 1 x –2 y 3 3 y 2 1 x 1 0 1 2 3 4 5 6 x –3 –2 –1 0 1 2 3 –1 –1 –2 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 34 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 34]]> y – 1 x y 1 k) +> y 39 27 3 y 2 1 2 x 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 x –1 –3 –2 –1 0 1 2 3 –1 g) –5x + 6y – 2 ≥ 0 y l) 5y – 10x – 5 ≥ 0 y 2 3 35 1 2 x –3 –2 –1 0 1 2 3 1 x –1 –3 –2 –1 0 1 2 3 6. Responde. h) 2x – y ≤ 4 y ¿Qué inecuación lineal con dos incógnitas x describe la gráfica? –3 –2 –1 0 1 2 3 y –1 a) x –2 –3 –2 –1 0 1 2 –1 –3 –2 –4 i) x ≥ y 3 y b) y 2 2 1 1 0,5 x x –3 –2 –1 0 1 2 –3 –2 –1 0 1 2 3 –1 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 35 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 35]]>”. 4 D 2. Sombreamos el conjunto solución de cada 3 inecuación: r1 B 2 Elegimos un punto cualquiera que no perte- 1 nezca a ninguna de las rectas: P(0, 0). A X –3 –2 –1 0 1 2 C 3 4 5 6 7 Sustituimos sus coordenadas en cada –1 inecuación. La intersección de las regiones sombrea- x +2y ≤ 4..................4x +3y <12 das es el conjunto solución del sistema de (0)2(0)4............4(0) +3(0) <12 inecuaciones. ≤ + ..................04............012 ≤ < 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 36 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 36 9/3/23 10:35]]>14 c) y y 20 2 x x –40 –20 0 20 40 –2 0 2 4 6 d) 3x + 5y > – 15 y y d) 4 40 2 20 x x –6 –4 –2 0 2 –40 –20 0 20 40 –2 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 37 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 37 9/3/23 10:35]]> y 4 de inecuaciones con dos incógnitas. ⎨ + ⎩ x 2 4 < y 1 a) ⎧xy < ⎨ y +> 4 ⎩x y 40 y 30 6 20 10 4 x –50 –40 –30 –20 –10 0 10 20 –10 2 x e) ⎧x y + ≤1 –4 –2 0 2 4 6 ⎨ ⎩y < –1 y 1 b) ⎧ x3 + y5 ≤ –15 x ⎨ –2 –1 0 1 2 3 4 ⎩x –3 y > 6 –1 y –2 x 38 –4 –2 0 2 4 f) ⎧ x3 – 4 y > –8 ⎨ –2 + ⎩ x 2 < y 3 6 y –4 3 2 1 c) ⎧ xy3– >9 x ⎨ –3 –2 –1 0 1 2 3 ⎩ x y 4 +> 4 y x –2 0 2 4 6 g) ⎧x + y 2 ≤3 ⎨ +>3 2 ⎩ x y –2 y –4 3 –6 2 1 x –8 –3 –2 –1 0 1 2 3 –1 –10 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 38 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 38 9/3/23 10:35]]>3,5 ⎩x y represente al problema. y 3 2 1 x Shutterstock, (2021). 597045962 –1 0 1 2 3 4 b) Identifica las posibles combinaciones de –1 compras usando una gráfica. 20 y 15 10 2 b) ⎧xy + ≥0 – ⎨ 5 ⎩yx –3 >0 x – y 0 5 10 15 20 25 30 4 3 6. Una camioneta con una capacidad máxima 2 de carga de 2 Tn es utilizada para transportar picudos y pargos, con precios de $ 5 y $ 3 el 39 1 kilo respectivamente. En cada viaje, el valor de x –3 –2 –1 0 1 2 3 la mercancía no debe sobrepasar los $ 8 000. Describe estas restricciones matemáticamente y confecciona un gráfico para mostrar las posi- bles combinaciones de pescado a transportar. c) ⎧ x5 + y2 ≥10 ⎪ ⎨x –3 y >2 ⎪ ⎩ x ≤1 y www.freepik.es, (2021). y 2000 4 1500 2 1000 x –4 –2 0 2 4 6 500 –2 x 0 500 1000 1500 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 39 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 39 9/3/23 10:35]]>fx 1 2 1 2 1 2 • Una función f es constante en un intervalo (a, b ) cuando: () =fx ∀ ∈, x x ( ,a b );...x ≠ ⇒ x fx ( ) 1 2 1 2 1 2 Actividad resuelta 2 f y Analizamos la monotonía de la función f(x) = x con dominio 4 D f =  y recorrido [ ∞ ) 0, 3 • f(x) = x es monótona decreciente en ( ∞–,0 ) 2 2 48 2 1 • f(x) = x es monótona creciente en ( +∞0, ) x –3 –2 –1 0 1 2 3 Observamos en la representación gráfica y en la tabular, que al aumentar el valor de x, el valor de y disminuye; eso indica que es f y decreciente. 4 3 x –3 –2 –1 0 2 y 9 4 1 0 1 x Además, observamos en la representación gráfica y en la tabular, que –3 –2 –1 0 1 2 al aumentar el valor de la variable x, el valor de la variable y también aumenta; eso indica que es creciente. y 4 x 0 1 2 3 3 y 0 1 4 9 2 1 Ahora, analicemos la monotonía de la función constante, f(x) = 2. f x Su representación gráfica es una recta paralela al eje de las “x”, pode- –3 –2 –1 0 1 2 mos visualizar en forma tabular que a medida que aumenta o dis- y minuye el valor de la variable independiente x el valor de la variable 2 dependiente, no cambia. 1 x –2 –1 0 1 2 3 x –3 –2 –1 0 1 2 3 y 2 2 2 2 2 2 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 48 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 48]]> 0 2 Si m > 0 entonces la función es creciente. 1 Si m < 0 entonces la función es decreciente. m = 0 x Si m = 0 entonces la función es constante. –3 –2 –1 1 2 3 –1 m = ∞ o no está definida, entonces la recta es m no definida –2 perpendicular al eje “x”. 52 Nota: Dado un ángulo, la función tangente retorna un número real; por ejemplo: tg(45º) = 1. Su inversa, arctan(1) = 45º, es decir dado el ángulo de la recta con el eje x, podemos obtener el valor de la pendiente. Actividad resuelta Dadas las funciones f y g del gráfico, respondemos las siguientes preguntas: a) ¿Cuál de las dos funciones corresponde a una función lineal? R. La función g porque es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. y 5 b) La función lineal ¿es creciente o decreciente? 4 f R. Gráficamente se observa que la función lineal es decreciente. c) ¿Cuál es su pendiente de la función lineal? 3 g R. Puede observarse que los puntos 2 P (0, 0) y P (–1, 1) pertenecen a la función; por tanto: 1 1 2 x m = y – y 1 = 1–0 = –1 2 –3 –2 –1 0 1 2 x – x –1–0 –1 2 1 d) ¿Qué expresión algebraica describe la función? –2 R. y = f(x) = – x e) ¿Existe correspondencia entre el signo de la pendiente y la monotonía de la función observada en su gráfica? R. Sí, es decreciente puesto que m < 0. 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 52 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 52]]> 0 2 6 2 x n par positivo, a > 0 x –2 0 2 4 –4 –2 0 2 4 –2 2 –2 n impar positivo, a > 0 x –4 n impar positivo, a > 0 56 –4 –2 0 2 4 –4 Cuando a < 0 los valores de y cambian del semiplano superior al inferior y viceversa. En la segunda ilustración se observa que cuando x se acerca a 0, la curva se acerca mucho al eje “y” sin llegar a tocarlo; cuando x es grande o muy pequeño, la curva también se acerca al eje “x”. En este ejemplo, los ejes “x” y “y” son asíntotas de la función. Actividad resuelta a) Sea la función y = x determinemos el dominio b) Un auto viaja a una velocidad constante de 2 y el recorrido de la función su gráfico, dónde 30 km/h durante 5 horas. Construyamos un es creciente y decreciente y el tipo de simetría. gráfico para mostrar la relación entre el tiem- po y la distancia recorrida y la función que y modela. 15 160 d [ → f : y = x 2 f :0,5] [ 0,150] 140 10 120 dt () = 30 t 100 d(t) = 30 t 5 80 x 60 –5 0 5 40 20 t 0 2 4 6 D =  c = ;...Re + f f ¿Cuántos kilómetros recorrió el auto pasado Simetría (respecto al eje “y”). en 5 min? La función es decreciente en –,0) ⎛ 5 ⎞ ( ∞ = 2,5 km y creciente en 0, ( +∞ . ) ⎜ d ⎝60 ⎟=2,.5km ⎠ 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 56 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 56]]> 0, la gráfica se Parábola 4 abre hacia arriba, se dice que es cóncava hacia arriba, por lo tanto tiene un punto mínimo que es su vértice. 3 a > 0 Cuando a < 0 , la parábola se abre hacia abajo, es decir es cóncava hacia 2 abajo y tiene un máximo que es su vértice. 1 x b –2 –1 0 1 2 3 4 • Eje de simetría: la recta x –= 2 a –1 a < 0 –2 ⎛ b ⎛ b ⎞⎞ –3 • Vértice: – ⎜ f ;... – ⎜ ⎟⎟ ⎝ a 2 ⎝ 2 a⎠⎠ Actividad resuelta Analizamos la función cuadrática. Con el eje x: 0 x y = f(x) = (x + 1) –2 y = ⇒ = 0 x 2 + 2 –1 2 y x ≈ –2, (41.........A )–2,41;.0 A B x 1 74 –3 –2 –1 0 1 x ≈ 0, ( 41...........B )0,41;.0 .... –1 D 2 –2 * Eje de simetría: V b = La recta x –= ⇒ x –1 Características: 2 a * Paridad: ni par, ni impar * Dominio: D f =  () = x x fx 2 +2–1 * Recorrido: Rec f = [–2, ∞ ) x * Vértice: f ( ) =–x x 2 –2–1 () ≠ – .....No.es.par.f y = (x + 1) – 2 = x + 2x + 2 – 2 fx ( ) x 2 2 () ≠ –– ..No.es.impar.f y = x + 2x – 1; a = 1, b = 2, c = –1 fx ( ) x 2 ⎛ b ⎛ b ⎞⎞ * Concavidad: cóncava hacia arriba V ⎜ – ,f ⎜– ⎟⎟ a 0 > ⎝ 2a ⎝ 2a ⎠⎠ porque a 1= ⇒ ⎛ 2 ⎛ 0 ⎞⎞ * Extremos: tiene un mínimo en su vértice porque V ⎜– ,f ⎜– ⎟⎟ a > 0. Mínimo (–1, –2) ⎜ ⎟⎟ ⎜ () ⎝ () ⎠⎠ ⎝ 21 21 * Monotonía: V ( () ⇒–1 )–1,.f V ( )–1,. –2 Decreciente: ( ∞–,. –1 . Creciente: (–1,. +∞ ) ) * Cortes con los ejes coordenados: * Desplazamiento: dos unidades hacia abajo y una hacia la izquierda con respecto a la gráfica y = x 2 Con el eje y : = ⇒ =0x y ( –1;...D )0,. –1 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 74 9/3/23 10:35 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 74]]>0,.existen..dos..soluciones..reales..diferentes. siguiente video: ⎪ <0,..la..ecuación..no..tiene..soluciones..reales. ⎩D 82 mayedu.ec/ctm10/p82 Actividad resuelta Dada la ecuación: x – 6x + 8 = 0. c 2 xx ⋅ 2 = ⇒⋅ =8 24 1 * Analizamos el discriminante: a 2 D = b – 4ac ; a = 1, b = –6, c = 8 sí son soluciones. D = (–6) – 4(1)(8) * Calculamos las soluciones por la fórmula general. 2 D = 4 > 0, la ecuación tiene raíces reales diferentes. –b ± b 2 – 4ac x = * Analizamos si las raíces 2a 2 ()() –6 –6 x = –2; x = –4 son soluciones de la ecuación dada. x = ( )± ( ) –4 18 2 1 () b 21 x + 1 x = 2 – ⇒ ( )( ) =–2 + –4 –6 a x ± 6 + 36–32 = 6 ± 4 b 2 2 Puesto que – = –(–6) = 6 no son soluciones. ± a x = 62 * Analizamos si las raíces 2 + x = 2y; x = 4 son soluciones de la ecuación dada. x 1 = 62 = 4;...x 2 = 6–2 =2 1 2 2 2 b b 24 x + x = – ⇒ += 6 ; – = –6, y Luego, su conjunto solución es: 1 2 a a S = {2, 4} o x = 2, x = 4 2 1 9/3/23 10:36 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 82 9/3/23 10:36 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 82]]> = 1200; y me estoy divirtiendo. c) SELECT * c) Estoy estudiando Matemática FROM empleados y no me estoy divirtiendo. WHERE salario > 1200; Después de ejecutada la instrucción SQL co- 6. Escribe la negación de las siguientes proposi- rrecta del inciso anterior, puede observarse ciones. que el señor José Armando Paucar aparece en a) Mi calificación en Matemática es superior el listado resultante. a 8 puntos. Determina la veracidad de las siguientes pro- _____________________________________________ posiciones asumiendo que: ____________________________________________ p: “el salario de José es inferior a $ 1 200” y b) No es cierto que 3 es divisor de 18. q: “el salario de José es inferior a $ 1 000”. ____________________________________________ a) p c) Gmail es un buscador de información. b) q _____________________________________________ c) ¬q ____________________________________________ 9/3/23 10:36 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 89 9/3/23 10:36 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 89]]> CD para que el avión pueda despegar sin problemas. — — BC — — — Calculamos BC y AB , para con AC y a hallamos CE y comparamos con CD. CD — CD 400 — — — — — tan (b) = → BC = = → BC = 400. Ahora, AC = AB + BC = 300 + 400 → AC = 700 BC tan β () 1 CE — — — Como tan a = → CE = AC tan (a) = 700 ⋅ tan (35º) → CE = 490 CD AC tan — β () — Respuesta. CE > CD (90 m mayor), por lo que el avión sí podría iniciar vuelo desde el final de la pista sin colisionar con la montaña. 9/3/23 10:36 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 110 9/3/23 10:36 Cuaderno Matematica 10 EGB.indb 110]]>